Ecuaciones Diferenciales

Problema planteado

Considere una masa de 30 kg que está unidad a una pared por medio de un resorte de constante k=30N/m. Si se alarga el resorte una distancia de 0.18 m y se suelta a partir del reposo, determine la posición y la velocidad de la masa en el tiempo, la frecuencia de oscilación, la amplitud, el ángulo de fase y las energías potencial y cinética en el tiempo t.

Desarrollo

Mg-ks=0

M=( d^2 x)/(dt^2 )= -ks-kx+mg=0

( md^2 x)/(dt^2 )= -ks Reescribimos la ecuación dividiendo por m

( d^2 x)/(dt^2 )= -( k)/m x → ( d^2 x)/(dt^2 )+( k)/m x =0 →x^"+( k)/m x =0

La ecuación característica es: m^2+( k)/m =0

La cual puedo reescribir Como:

m^2-(√(( k )/m) i)^2=0 → m^2-(√(( k )/m) i)^2=(m-√(( k )/m) i) (m+√(( k )/m) i)=0

Por lo tanto:

m_1=√(( k )/m) i m_2=-√(( k )/m) i

Por ser raíces complejas conjugadas debe ser:

x(t)=e^(∝t)*(c_1 cosβ√(( k )/m) t+ c_2 senβ√(( k )/m) t)

Como las raíces son:

0+√(( k )/m) i y 0-√(( k )/m) i

Entonces

∝=0 → β= √(( k )/m)

x(t)=e^(∝t)*(c_1 cos√(( k )/m) t+ c_2 sen√(( k )/m) t)

x(t)=c_1 cos√(( k )/m) t+ c_2 sen√(( k )/m) t

x(t)=c_1 cos√(( 30 N⁄m )/30kg) t+ c_2 sen√(( 30 N⁄m )/30kg) t

x(t)=c_1 cost+c_2 sen

Hallamos la 〖 c〗_(1 ) y c_2 utilizamos las ecuaciones iniciales.

Como dice que desde el reposo entonces la velocidad inicial en t=0 es 0, es decir

x^2 (0)=0 y la posicion en t=0, es decir x(0)= 0,18m

x^1 (t)=c_1 sent+c_2 cost x(0)=0.18m entonces

0.18=c_1 cos⁡(0)+c_2 sen(0)

0.18=c_1

x^1 (0)=0 → 0=〖-c〗_1 sent(0)+c_2 cost(0)

0=c_2

Por lo tanto la ecuación que me describe el movimiento de la partícula es:

x(t)=0,18 cos⁡〖 t〗

Para hallar la velocidad derivo con respecto a t. N(t)=-0,18 sen t

La frecuencia de oscilación W=√(( k )/m)=1s^(-1)

La amplitud = 0.18m

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