Ecuaciones Diferenciales

Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

dy/dx+cos⁡〖(y)=0〗

Es una ecuación No - lineal porque no hay una función de “x” que multiplique a una de “y” o sencillamente porque la función “Cos” no depende solo de x sino también de y

Ecuación de primer orden porque aparece la primera derivada como orden máximo de derivación

y^''+y=0

Es una ecuación lineal por que la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero y en el coeficiente que lo multiplica solo interviene la variable independiente

Ecuación de segundo orden ya que tiene una segunda derivada

(d^2 y)/(dx^2 )+dy/dx-5y=e^x

Es ecuación lineal por que la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero y porque en el coeficiente que lo multiplica solo interviene la variable independiente

Ecuación de segundo orden ya que tiene una segunda derivada

(y-x)dx+2xdy=0

Es ecuación lineal por que la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero y porque en el coeficiente que lo multiplica solo interviene la variable independiente

Ecuación de primer orden porque aparece la primera derivada como orden máximo de derivación

Demuestre que y=1/x es solución de la siguiente ecuación diferencial

(□(24&dy)/□(24&dx))+Y^2+ Y/X- 1/X^2 =0

Se realiza la derivada de y=1/x

y= x^(-1)

□(24&dy)/□(24&dx)= -1x^(-2)

□(24&dy)/□(24&dx)=- 1/X^2

Se reemplaza la derivada en la ecuación diferencial, entones:

(- 1/X^2 )+Y^2+ Y/X- 1/X^2 =0

Se suman términos semejantes

Y^2+ Y/X- 2/X^2 =0

Como la igualdad no se cumple, entonces se concluye que no es solución.

Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables

dy/dx=(x+1)^2

dy/dx=x^2+2x+1

Despejamos dy

dy =(x^2+2x+1)dx

Calculamos la integral en ambos lados de la ecuación.

∫▒〖dy 〗=∫▒( x^2+2x+1)dx

∫▒〖dy 〗=∫▒x^2 dx+∫▒2x dx+∫▒dx

y=x^3/3+(2x^2)/2+x

y=x^3/3+(2x^2)/2+x

y=x^3/3+(2x^2)/2+x

y=x^3/3+x^2+x+c

Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala. (Diego Herrera)

(2x+y) dx-(x+6y)dy=0

(2x+y)dx/M-(x+6y)dy/N=

de acuerdo con lo anterior aplicando la regla dM/dy=dN/dx

por lo consiguiente dM/dy=1 dN/dx=1 entonces es exacta: solución:

f(x,y)=∫▒〖M(x_1 y)dx=∫▒(2x+y)dx〗

=2 x^2/2+g(y) constante

=x^2+g(y)

g(y) ∫▒〖(x+6y)dy=C1+6 y^2/2=C1+〖3y〗^2 〗

= f(x_1 y)=x^2-〖3y〗^2-c

Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante

dy/dx+2xy=x (1)

Es la forma:

dy/dx+yp(x)=q(x)

Donde p(x) = 2x & q(x) = x

De modo que integramos

e^([∫▒〖2xdx] 〗)=e^(x^2 )

Ahora le multiplicamos en ambos lados la ecuación (1)

e^(x^2 ) [dy/dx+2xy]=xe^(x^2 )

El lado izquierdo de la ecuación anterior es la derivada de 〖ye〗^(x^2 )

Integramos a ambos lados

〖ye〗^(x^2 )=∫▒〖xe^(x^2 ) 〗 dx (2)

Ahora integramos: ∫▒〖xe^(x^2 ) 〗 dx sea:

u=x^2

du=2xdx →xdx=1/2 du

∫▒〖xe^(x^2 ) 〗 dx→ 1/2 ∫▒〖e^u du〗

1/2 e^(u )+c

Sustituimos “u” por x^2 y la

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