Ecuaciones Enteras

Ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

Las incógnitas se representan por las ultimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v.

Así, 5x + 2 = 17

Es una ecuación, porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la x, y esta igualdad solo se verifica, o sea que solo es verdadera, para el valor x = 3. En efecto, si sustituimos la x por 3, tenemos:

5(3) + 2 = 17, o sea: 17 = 17.

Si damos a x un valor distinto de 3, la igualdad no se verifica o no es verdadera.

La igualdad y2 – 5y = - 6 es una ecuación porque es una igualdad que solo se verifica para y = 2 e y= 3. En efecto, sustituyendo la y por 2 tenemos:

22 – 5(2) = - 6

4 – 10 = - 6

- 6 = - 6

Si hacemos y = 3, tenemos: 32 – 5(3) = - 6

9 – 15 = - 6

- 6 = - 6

Si damos a y un valor distinto de 2 o 3, la igualdad no se verifica.

Identidad es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras que entran en ella.

Así, (a – b)2 = (a – b) (a – b)

a2 - m2 = (a + m) (a – m)

Son identidades porque se verifican para cualesquiera valores de las letras a y b en el primer ejemplo y de las letras a y m del segundo ejemplo.

El signo de identidad es ≡, que se lee “idéntico a”.

Así, la identidad de (x + y)2 con x2 + 2xy + y2 se escribe

(x + y)2 ≡ x2 + 2xy + y2 y se lee (x + y)2 idéntico a x2 +2xy + y2.

Miembros se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro, a la expresión que está a la derecha.

Así, en la ecuación 3x – 5 = 2x – 3

el primer miembro es 3x – 5 y el segundo miembro 2x – 3.

Términos son cada una de las cantidades que están conectadas con otras por el signo + o -, o la cantidad que está sola en un miembro.

Así, en la ecuación 3x – 5 = 2x – 3

Los términos son 3x, - 5, 2x y – 3.

No deben confundirse los miembros de una ecuación con los términos de la misma, error muy frecuente en los alumnos.

Miembro y término son equivalentes solo cuando en un miembro de una ecuación hay una sola cantidad.

Así, en la ecuación 3x = 2x + 3

Tenemos que 3x es el primer miembro de la ecuación y también es un término de la ecuación.

Despejar consiste en pasar las variables de un lado de la ecuación al otro (preferiblemente el izquierdo) luego hacer la reducción de términos y resolver.

Reglas para despejar

 Cualquier término de la ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo (muy importante).

Sea la ecuación 5x = 2a – b

 Sumando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste y tendremos: 5x + b = 2a –b + b

Y como – b + b = 0, queda 5x + b = 2ª

Donde vemos que – b, que estaba en el segundo miembro de la ecuación dada, ha pasado al primer miembro con signo +.

 Términos iguales con signos iguales en distinto miembro de una ecuación, pueden suprimirse.

Así, en la ecuación x + b = 2a + b

Tenemos el termino b con signo + en los dos miembros. Este término puede suprimirse, quedando x = 2a

Porque equivale a restar b a los dos miembros.

Cambio de signos los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varíe, porque equivale a multiplicar los dos miembros de la ecuación por – 1, con lo cual la igualdad no varía.

Así, en la ecuación - 2x – 3 = x – 15

Multiplicamos ambos miembros por – 1, para lo cual hay que multiplicar por – 1 todos los términos de cada miembro, tendremos:

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