Ejemplo De Funciones

FUNCIONES

Joaquín Barañao

Álgebra de funciones:

1) Se tiene una caja de base cuadrada y de 125 cm3 de volumen. Expresa el área total de su superficie como función de la longitud de su arista basal. Cuál es el dominio y el recorrido de la función resultante

Sea y la altura de la caja

Area = A = 2 x2 + 4xy

Pero x2y = 125, por lo que y = 125/ x2

A(x) = 2 x2 + 4x*125/x2 = 2x2 + 500/x

Dominio de A(x): ]0,]

Recorrido de A(x): ]0,]

2) Expresa el volumen de una esfera como función de su superficie

a) Vol = 4/3R3

b) S = 4R2

Ambas son funciones sólo del radio R

Despejando de b: R = (S/4

Reemplazando el radio en el volumen

V = 4/3(S/4

V =

3) Un rectángulo de base x está inscrito en una circunferencia de radio 2. Expresa el área del rectángulo como función de x.

R: Como el cateto “y” que falta del triángulo formado por él, el diámetro de la circunferencia y la base x mide (16-x2) ½ , el área mide x(16-x2) ½

4) Se tiene una escalera de 12 metros de largo. Se quiere apoyar sobre una gran muralla, pero a 3 metros de ella hay una muralla menor de 5 metros de alto. ¿A qué distancia de la muralla menor se apoyará en el suelo la escalera para aprovechar la muralla menor como soporte para la escalera?

Llamemos x a la distancia del apoyo en el suelo a la base de la muralla menor, e y la distancia desde el suelo al apoyo de la escalera en la muralla grande. Haciendo un pitagorazo:

(1) y2+ (x+3)2 = 144

Y además, por semejanza de triángulos (hagan un dibujo)

(2) (y-5)/3 = 5/x

y = 15/x +5

Que, reemplazando en (1)

(15/x +5) 2+(x+3) 2 = 144

Esto es una ecuación cúbica, y no hay fórmulas explícitas para resolverla. Sin embargo, podemos reexpresar la ecuación como f(x) = (15/x +5) 2+(x+3) 2 –144

Y luego buscar el valor de x para el cual la función es cero, graficando:

Se observan dos posiciones: x = 2,38 (escalera muy empinada) y x = 6,23 , que resulta bastante menos peligrosa.

5) Demuestra que un polinomio de n términos cuyas potencias son múltiplos de 2 es una función par

Demo: P(x) = x2k1+x2k2+x2k3+...+x2k3

Donde k1,k2,..kn son naturales.

Para cada ki se tiene

x2ki = (xki)2 = (-xki)2

Por lo tanto, cada uno de los términos del polinomio es una función par. Podemos demostrar que la suma de funciones pares es también par:

Sea F(x) = fi(x), donde cada fi(x) es par.

F(-x) = f1(-x)+ f2(-x)+ f3(-x)+ …

Como para todo fi ,fi(-x) = fi(x) se tiene

f1(-x)+ f2(-x)+ f3(-x)+ …= f1(x)+ f2(x)+ f3(x)+ …=F(x)

F(-x) = F(x), F es par

Por lo tanto, P(x), siendo la suma de funciones pares, es una función par.

6) ¿Par, impar o ninguna de ellas?

a) cos(x): par

b) sen(x): impar

c) tan(x): impar (impar/par)

d) ex : ninguna

e) 1/x : impar (exponente -1, impar)

f) sen(x)cos(x) : impar (par*impar)

g) x32cos(x)sec3(x): par (par*par*par3)

h) sen8(x) : par (impar8)

i) x2k+1, k natural: impar

j) x2k+1+x2k,k natural: ninguna (par + impar)

k) x/(x2+17): par

7) ¿Qué condición tienen que cumplir las rectas para ser función impar?

Intuitivamente, se deduce que son aquellas que pasan por el origen (0,0). Seamos más formales:

Sea f(x) = a + bx una recta cualquiera. Para ser impar

-(a + bx) = a – bx para todo x

a = -a

Esta ecuación sólo se cumple si a = 0. La recta es f(x) = bx y f(0) = 0

Todo el resto de las rectas no son pares ni impares, salvo las horizontales (y = cte) que son pares.

COMENTARIO PEDAGÓGICO: Unas pocas funciones famosas son pares o impares. La inmensa mayoría de las funciones reales no son ninguna de las dos.

8) Cuál es el dominio de:

a) x/sen(x): Los reales no múltiplos de 

b) arcsen(x): [-1,1]

c) 1/(x+1): Los reales menos -1

d) 1/(x+1)2: Los reales menos -1

e) 1/x! : Los naturales

f) (1,5 + cos(x)) ½ : Todos los reales

g) (0,5 + cos(x)) ½ : Reales – ([2/3, 4/3]+2k) donde k pertenece a los enteros Z. Es decir, se resta del dominio cuando

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