EJEMPLOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

[pic 1]

Figura 1

Las funciones de dos variables se pueden visualizar por medio de curvas de nivel, que enlazan puntos donde la función toma un valor determinado. La presión atmosférica a una hora dada es una función de longitud y latitud y se  mide en milibaras. Aquí las curvas de nivel se llaman isobaras y las que se presentan unen puntos que tenían  la misma presión. Las curvas marcadas 1028, por ejemplo, conectan puntos con presión de 1028mb)

EJEMPLOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En muchos casos, encontramos funciones que dependen de dos variables.

1. El volumen de un cilindro circular recto está dada por la siguiente formula [pic 2]donde [pic 3] es su altura y [pic 4] es el radio de la base circular, es decir para determinar el volumen de un cilindro debemos conocer los valores de su altura y radio, por eso podemos decir que el volumen de un cilindro depende de los valores de su altura y radio. En otras palabras podemos expresar el volumen del cilindro como una función de dos variables [pic 5]y [pic 6], a las cuales llamaremos variables independientes. Dicha función puede quedar representada como [pic 7].

1. Para determinar el área de un rectángulo es necesario conocer su largo[pic 8] y ancho [pic 9], es decir el área del rectángulo depende del largo y ancho. Es decir podemos representar el área de un rectángulo mediante la siguiente función [pic 10]

1. Dados dos números cualesquiera, [pic 11] e [pic 12] su media aritmética es el número intermedio entre ambos, es decir:

[pic 13]

En general, dados [pic 14]números [pic 15], su media aritmética es el número:

[pic 16]

La media aritmética es, pues, una función [pic 17]de [pic 18]variables.

1. Dados dos números positivos [pic 19] e [pic 20], su media geométrica es :

[pic 21].

En general, dados [pic 22]números positivos [pic 23], su media geométrica se define como:

[pic 24]

1. Supongamos que tenemos una placa metálica de grandes dimensiones. La temperatura(en grados centígrados) de placa es función de las coordenadas década uno de sus puntos y viene dada por (Figura 1):

[pic 25]

1. La media de tiempo que un cliente espera en una cola para ser atendido viene dada por :

[pic 26],

donde[pic 27] es la razón media de llegada, expresada como el número de clientes por unidad de tiempo y [pic 28]es la razón media de servicio, expresada en las mismas unidades. (Figura 2)

[pic 29][pic 30]

                               Figura 1                                          Figura 2

Empezaremos nuestro estudio con las funciones de dos variables.

DEFINICIÓN Una función [pic 31] de dos variables  es una regla de correspondencia que asigna a cada par ordenado de números reales [pic 32]de un conjunto [pic 33]un número real único que se denota por [pic 34]. El conjunto [pic 35] es el dominio de [pic 36]y su rango es el conjunto de valores que toma [pic 37], es decir, [pic 38].

A menudo,se escribe [pic 39] para hacer explicito el valor que toma [pic 40] en el punto [pic 41]. Las variables x e y son variables independientes y z es la variable dependiente

[pic 42]

Figura 2

GRÁFICAS

Un modo de representar el comportamiento de una función de dos variables es considerar su gráfica.

Definición  Si [pic 43] es una función de dos variables con dominio  D, entonces la gráfica de [pic 44]es el conjunto de todos los puntos [pic 45]en [pic 46]tal que [pic 47] y [pic 48]está en D.

[pic 49][pic 50]

Figura 3

A continuación se ilustran algunas funciones de varias variables hechas por computador con sus respectivos dominios.

     [pic 51]                        [pic 52][pic 53][pic 54]

Figura 4. [pic 55]

[pic 56]                        [pic 57][pic 58][pic 59]

Figura 5. [pic 60]

Las gráficas presentadas a continuación tienen como dominio [pic 61].

[pic 62][pic 63]

Figura 6

Para el caso de las funciones con [pic 64] variables, el concepto de dominio se mantiene pero la gráfica de las funciones ya no se puede visualizar.

La formalización de  lo dicho anteriormente, se describe a continuación

[pic 65]

Alos números reales[pic 66]se les llama variables independientes y forman lo que se llama la [pic 67]ada[pic 68], que es un punto que pertenece al dominio de [pic 69], mientras que la imagen correspondiente [pic 70] se le llama variable dependiente y pertenece al rango de [pic 71].

El dominio y rango también se pueden describir como sigue:

Para el dominio  

[pic 72]

y para el rango

[pic 73]

Nota.- Para el caso [pic 74], solo se puede visualizar su dominio.

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