Ejercicios

CAPÍTULO II

FUNCIONES TRASCENDENTES

Introducción: Se denominan así generalmente a aquellas funciones que presentan argumento entre estas tenemos: la función exponencial (su inversa la función logarítmica), las funciones trigonométricas y sus inversas y las funciones trigonométricas hiperbólicas, así como sus inversas.

Función exponencial: La función , definida por  se llama función exponencial en z.[pic 1][pic 2]

Si  entonces: [pic 3][pic 4]

Propiedades:

1. [pic 5]
2. [pic 6]
3. [pic 7]
4.  [pic 8][pic 9]
5.  [pic 10][pic 11]
6. [pic 12]

Ejem. 1

Función Logarítmica: La exponencial compleja  (Forma exponencial de un número complejo) es un número complejo, el valor de  se denomina argumento principal de z y se denota por: .[pic 13][pic 14][pic 15]

Para todo complejo , le corresponde solamente un valor de  con , sin embargo cualquier otro intervalo de longitud  se puede emplear.[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

El logaritmo complejo es la inversa de la exponencial compleja, es decir:

Si  es un número complejo ⇒  único tal que: [pic 20][pic 21]

 y  de donde se define el logaritmo como:[pic 22][pic 23]

[pic 24]

El valor principal del ln r es el que se obtiene cuando  es decir que el valor principal de un logaritmo complejo es: [pic 25][pic 26]

Propiedades: Sean  y  con  se verifican las siguientes propiedades:[pic 27][pic 28][pic 29]

1. [pic 30]
2. [pic 31]
3. [pic 32]

Teoremas: Sean  con  y  entonces:[pic 33][pic 34][pic 35]

1. [pic 36]

1. [pic 37]

1.  es el único entero tal que:[pic 38]

[pic 39]

Ejem. 2

Exponencial Compleja en General: Sean  dos números complejos con , entonces consideramos la exponencial compleja:  aplicando logaritmos en base natural se tiene:[pic 40][pic 41][pic 42]

 , y por definición se tiene: [pic 43][pic 44][pic 45]

Ejem. 3

Funciones Trigonométricas: Llamadas también funciones circulares complejas, se definen de la siguiente manera:

Se sabe que:  sumando ambas ecuaciones se obtiene:[pic 46]

[pic 47]

De la misma forma pero ahora restando ambas ecuaciones obtenemos:

[pic 48]

Por lo anteriormente expuesto las funciones trigonométricas de Seno y Coseno se definen de la siguiente manera:

                                                                                [pic 49]

Identidades: Para funciones trigonométricas se verifican las siguientes identidades:

Fundamentales:

1. Pitagóricas:

[pic 50]

1. De Cociente:

[pic 51]

1. Recíprocas:

[pic 52]

Con estas identidades podemos definir las demás funciones trigonométricas, así tendremos:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                [pic 53]

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