Elogio De La Dificuldad

Números no racionales. Notación científica.

Las raíces.

1. Números no racionales. Aproximación

Hay algunos números que no pueden escribirse en forma de fracción. Estos números se llaman irracionales, se caracterizan por tener infinitas cifras decimales no periódicas y se representan por la letra I .

Son números irracionales todas las raíces que no sean exactas como: =1’414213562..., =1’7320508... ; algunos números “famosos” como el número 3’141592654..., el número e=2´71828182...., el número áureo , etc.

Los conjuntos numéricos estudiados hasta ahora N, Z, Q e I forman el conjunto de los números reales R, y se contienen unos a otros según se recoge en el cuadro adjunto.

Con frecuencia en los cálculos obtenemos más cifras decimales de las que necesitamos. En estos casos sustituimos un número con varias cifras decimales por otro con menor número de cifras decimales, a sabiendas de que no es el valor exacto, sino que estamos tomando una aproximación. A esta operación se la conoce con el nombre de redondeo, y al realizarla hemos de tener cuidado ya que, si la primera cifra que despreciamos es igual o superior a 5, hay que añadir una unidad a la última cifra con la que nos hemos quedado.

1. Indica el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números:

(a) 1/4 (b) (c) –1’55... (d)  (e) 2’48 (f)

(g) 159 (h) –61 (i)

2. La notación científica.

Recuerda que para multiplicar un número por 10n, basta con desplazar la coma n lugares hacia la derecha, mientras que para dividir un número por 10n, basta con desplazar la coma n lugares hacia la izquierda, añadiendo o suprimiendo en ambos casos los ceros necesarios.

Cuando trabajamos con números muy grandes o muy pequeños, resulta sumamente ventajoso el empleo de la notación científica.

Un número está escrito en notación científica si adopta la siguiente forma: a ’ bcde... • 10n , donde:

 “a” es la parte entera, que ha de tener solo una cifra.

 “bcde...” es la parte decimal

 La potencia entera de base 10, nos da idea de la magnitud del número (exponente positivo para los números grandes y exponente negativo para los números pequeños)

 Calculadora: EXP

2. Escribe en forma correcta los siguientes números dados en notación científica:

(a) 256•108 (b) 389’4 • 10–5 (c) 0’84 • 107 (d) 0’0256 • 10–5

3. Realiza las siguientes operaciones, usando la calculadora sólo para comprobar el resultado:

(a) (2’4 • 10–5) • (5’5 • 1018) (b) (3’45 • 10–29) : (7’6 • 1024)

(c) (1’5 • 10–9) : (1’9 • 10–24)

4. Pasa de notación científica a notación decimal las siguientes cantidades:

(a) Altura del monte Everest: 8’85 • 103 m.

(b) La masa de la tierra: 5’98•1021 toneladas.

(c) Espesor de una moneda de 100 ptas.: 3 • 10–3 m.

(d) Área de una moneda de 100 ptas.: 4’67 • 10–4 m2.

5. Pasa de notación decimal a notación científica las siguientes cantidades:

(a) Distancia media de la Tierra al Sol: 149.680.000 km.

(b) Diámetro en el ecuador del Sol: 1.391.980 km.

(c) Peso de un grano de arroz: 0’000 027 kg.

(d) Masa del electrón: 0’000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 g

6. Un año–luz es la distancia que recorre la luz en un año. Sabiendo que la luz se desplaza en el vacío con una velocidad de 3 • 105 km/s, calcula a cuantos km equivale un año luz.

7. El cabello humano crece, más o menos, un centímetro en un mes. ¿Cuánto crecerá, aproximadamente, en una hora?

3. Raíces. Operaciones con radicales.

Un radical es una expresión de la forma , donde al número que hay dentro de la raíz (a) se le llama radicando y al que hay encima del símbolo (n), índice.

La raíz de un número es aquel número o números (puede tener varias soluciones) que elevado al índice nos da el radicando.

Esto es: .

8. Halla las siguientes raíces de forma exacta, comprobando que el resultado, elevado al índice, nos da el radicando:

(a) (b) (c) (d) (e)

(f) (g)

Como hemos dicho, una raíz puede tener dos, una o ninguna solución, dependiendo de que el radicando sea un número positivo o negativo y de que el índice sea un número par o impar.

En concreto:

 Calculadora:

, x1/y ,

9. Halla las soluciones de las siguientes raíces:

10. Halla con tu calculadora las siguientes raíces, aproximando hasta las centésimas:

Este curso nos limitaremos al estudio de la raíz cuadrada

 Operaciones aritméticas:

Para sumar o restar raíces cuadradas:

(1) Los radicales han de ser iguales. Si no lo son, se intentará transformarlos en radicales iguales, normalmente sacando números de la raíz. Si ésto no se consigue, no se puede hacer la suma.

(2) Si la suma se puede realizar, se suman los números de fuera dejando la misma raíz.

Ejemplo:

18. Efectúa las siguientes sumas de radicales:

(a) (b)

(b) (c)

Para multiplicar o dividir raíces cuadradas:

Utilizando propiedades de potencias resulta que:

(1) La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores:

(2) La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces

(3) Si hay números fuera de las raíces, se multiplican o dividen, por una parte todos los números de fuera y por otra parte los radicandos de todas las raíces.

Ejemplo:

19. Multiplica las siguientes expresiones y simplifica el resultado:

20. Efectúa las siguientes divisiones y simplifica el resultado:

...