Error de truncamiento

Error de truncamiento

Ejercicio 1.2.1Obtener los primeros 5 términos de la Serie de Taylor para f(x) = cos(x) alrededor de 0.

F(x)=cosx F(x0)=1

F’(x)=-senx F’(x0)=0

F’’(x)=-cosx F’’(x0)=-1

F’’’(x)=senx F’’’(x0)=0

F’’’’(x)=cosx F’’’’(x0)=1

F5(x)=-senx F5(x0)=0

F6(x)=-cosx F6(x0)=-1

Ahora sustituimos en la fórmula original

cosx ≈ 1+0(x-0) + (-1(x-0)2)/2! +0 + (1(x-0)4/4!+ 0+ (-1(x-0)6)/6!+ 0 + 1(x-0)8/8!

cosx ≈ 1-x2/2! +x4/4! -x6/6! + x8/8! Primeros 5 términos

Ejercicio 1.2.2 Si se sabe que la raíz exacta de cos(0.01)=0.999950000417, calcular el error relativo porcentual que se está cometiendo si se trunca su representación en series de potencias para 1,2,3,...,5 términos. Utilizar la ecuación (1.12); con 12 decimales.

F(x)= cosx F(x0)=1

F’(x)= -senx F’(x0)=0

F’’(x)= -cosx F’’(x0)=-1

F’’’(x)= senx F’’’(x0)=0

F’’’’(x)= cosx F’’’’(x0)=1

F5(x)= -senx F5(x0)=0

F6(x)= -cosx F6(x0)=-1

F7(x)= senx F7(x0)=0

Sustituimos en la formula original

cosx ≈ 1+0(x-0) + (-1(x-0)2)/2! +0 + (1(x-0)4/4!+ 0+ (-1(x-0)6)/6!+ 0 + 1(x-0)8/8!

cosx ≈ 1-x2/2! +x4/4! -x6/6! + x8/8! Primeros 5 términos

Terminos Resultado Error Relativo

1 1 -----------------

2 .99995 -.00500250013

3 .99995 0

4 .99995 0

5 .99995 0

Ejercicio 1.2.3 Obtener los primeros 5 términos de la Serie de Taylor para f(x) = ln(1+x) alrededor de 0.

F(x)= ln(1+x) F(x0)=0

F’(x)= 1/(1+x) F’(x0)=1

F’’(x)= (-1)/〖(1+x)〗^2 F’’(x0)=-1

F’’’(x)=(2+2x)/〖(1+x)〗^4 F’’’(x0)=2

F’’’’(x)= (〖2(1+x)〗^4-(4(1+x)^3 (2+2x)))/〖(1+x)〗^6 F’’’’(x0)=-6

F5(x)= (〖(1+x)〗^6 [8(1+x)^3-(3(〖1+x)〗^2 (8+8x) )+8(1+x)^3])/〖(1+x)〗^8 F5(x0)=-24

ln≈ 1+ x2/2! + 2x3/3! - 6x4/4! - 24x5/5!

Ejercicio 1.2.4 Obtener los primeros 5 términos de la Serie de Taylor para f(i) = (1+i)-4 alrededor de 0.

F(i)= (1+i)-4 F(i0)=1

F’(i)= -4i(1+i)-5 F’(i0)=0

F’’(i)= 20i(1+i)-6 -4(1+i)-5 F’’(x0)=-4

F’’’(i)= -120i(1+i)-7 +40(1+i)-6 F’’’(x0)=40

F’’’’(i)= 840i(-8(1+i)-8) -360(1+i)-7

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