Establecimiento De Una Planeación Estratégica

UNIDAD I. PARIDAD

"Todo número natural es par o impar"

Esta afirmación es una de las más simples y conocidas en matemáticas, pero también es una herramienta muy útil para resolver problemas que involucran números naturales.

Propiedades:

i. La suma de dos números pares es par.

ii. En general la suma de números pares es par.

iii. La suma de dos números impares es par.

iv. La suma de una cantidad par de números impares es par.

v. En general la suma de una cantidad impar de impares es impar.

vi. La suma de un par y un impar es impar

vii. En general la suma de pares e impares dependerá del número de impares que haya en la suma, es decir, si la cantidad es par la suma es par, si la cantidad es impar la suma es impar.Definición de paridad

Se dice que dos números tienen la misma paridad si ambos son pares o ambos impares.

La suma de dos números con la misma paridad es par.

La suma y la cantidad de impares en la suma tienen la misma paridad.

Ejemplo 1

María y sus amigos están sentados formando un círculo, de forma que los dos vecinos de cada amigo son del mismo sexo. Si de los amigos de María 5 son hombres. ¿Cuántas mujeres hay?

Solución:

Hay 5 mujeres. Para ver esto recordemos que los vecinos de cualquier persona son del mismo sexo, por lo que las mujeres y los hombres están alternados, entonces hay la misma cantidad de hombres que de mujeres.

Ejemplo 2

¿Es posible dibujar una línea quebrada de 11 segmentos, cada uno de los cuales se intersecta (internamente) exactamente con uno de los otros dos segmentos?

Solución:

No es posible. Si fuera posible, podemos partir los segmentos en parejas de segmentos que se intersecan, como cada segmento se corta con otro segmento y solamente con uno, tendremos que los segmentos se agrupan en parejas y entonces el número de segmentos debe ser par, lo que es una contradicción.

Ejemplo 3

Un nadador para entrenar realiza sesiones de entrenamiento de 3, 5 y 7 Km. Su entrenador le recomienda entrenar un total de 35 km. ¿Podrá realizarlos en 10 sesiones?

Solución:

No es posible. En cada sesión debe nadar un número impar de kilómetros y la suma de un número par de impares es par, por lo que nunca podrá ser 35.

Ejemplo 4

A una cuadrícula de 8X8 cuadritos se le retiran dos cuadritos de esquinas opuestas, ¿Puede ser cubierta con 31 dominós (fichas de 2x1 cuadritos)?

Solución:

La respuesta es no. Un artificio para resolverlo es pensar en la cuadrícula coloreada como un tablero de ajedrez, esto es, los cuadritos coloreados en forma alternada con dos colores: blanco y negro. En el tablero completo, con 64 cuadritos, quedan coloreados 32 cuadritos de color blanco y 32 de negro. Al retirar dos esquinas opuestas, se están retirando dos cuadritos de un mismo color. Quedando 32 negros y 30 blancos.

Por otro lado, un dominó cubre dos cuadritos: uno de cada color. Las 31 fichas de dominó que se tienen, solamente pueden cubrir un número impar de cuadritos de color negro (exactamente 31 cuadritos de color negro), y debemos cubrir una cantidad par de cuadritos negros: 32, por lo que es imposible cubrir la cuadrícula como se pide, de hecho, siempre faltará por cubrir un cuadrito negro.

Ejemplo 5

En un salón de clase están sentados los alumnos formando un arreglo rectangular de 5 x 7. La maestra que quiere hacer una dinámica las pide a todos los alumnos que cambien de lugar, moviéndose un lugar ya sea a la izquierda, a la derecha, adelante o hacia atrás. Pepito que sabe de matemáticas le dice que esto es imposible. ¿Porqué tienen razón Pepito?

Solución:

Tomemos una cuadrícula de 5 x 7 (cada casilla es un lugar), y coloreada a la manera del tablero de ajedrez, entonces observemos que si te encuentras en casilla coloreada y te mueves un lugar de la manera antes descrita, pasarás a una casilla que no está coloreada y viceversa.

Pero sucede que el arreglo tiene 18 casillas de color blanco y 17 de color negro, por lo que los que están en casilla blancas no podrán ocupar las 17 negras.

Nota: Si los objetos se pueden agrupar en parejas, entonces el número de objetos es par.

O bien, si se han agrupado varias parejas de objetos de un número impar de objetos, entonces al menos un objeto quedará sin pareja.

Ejemplo 6

Un polígono con un número par de lados se circunscribe a una circunferencia. Los lados se colorean alternadamente de negro y rojo. ¿Es la suma de las longitudes de lados rojos igual a la de las longitudes de los lados negros?

Solución:

Sí, son iguales. Primero observemos que al ser un número par de lados y al ser coloreados alternadamente, siempre un lado tiene por vecinos a dos de distinto color. También vemos que a cada vértice convergen dos lados de distinto color.

Si A es uno de los vértices y P y Q son los puntos de tangencia de tales lados, se conoce de geometría que AP = AQ; como uno de los segmentos es rojo y el otro es negro, tenemos después de recorrer los vértices del polígono y sumar las longitudes de las tangentes, que la suma de los las longitudes de los lados rojos es igual a la suma de las longitudes de los lados negros.

Ejemplo 7

Un polígono cerrado que no se intersecta a si mismo y cuyos lados son verticales u horizontales, tiene un número par de lados.

Solución:

Demos a los lados del polígono una letra de la siguiente manera: H a los horizontales y V a los verticales, las letras H y V también se alternan, y como la figura es cerrada al recorrer los lados si iniciamos en H , debemos de terminar en V, así el recorrido lo podemos realizar por pares de lados HV, por lo que tendrá un número par de lados.

Nota: si los objetos se pueden ir alternando, siendo estos de dos tipos, tenemos que:

a) si iniciamos y terminamos con objetos del mismo tipo, el número total de objetos es impar y si

b) iniciamos con un objeto de un tipo y terminamos con un objeto del otro tipo, el número de objetos es par.

Ejemplo 8

Un gusano se desplaza verticalmente sobre un árbol. Cada día puede solamente subir o bajar. Si el primer día recorre 1 cm, y el segundo 2 cm, y así sucesivamente,

¿Será posible que después de 17 días el gusano se encuentre en el lugar de donde partió?

Solución:

No es posible. Si fuera posible, tenemos que: al conjunto {1,2, .

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