Formulario De Derivadas

El termino continuidad o continuo tiene el mismo sentido en el trabajo con funciones en matemáticas que en la vida cotidiana cuando se habla de que en un determinado suceso no hay interrupciones ni rupturas. Mediante la extensión de esta idea al lenguaje formal matemático, es posible obtener diversos tipos de funciones de acuerdo a las condiciones que determinan su continuidad en un puntoo sobre un intervalo.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN y=f(x) EN UN PUNTO:

Decir que una función f(x) es continua en x=c, significa que su gráfica no sufre interrupciones en el punto c, esto es, ni se rompe ni tiene saltos o huecos en dicho punto. Al presentarse cualquier tipo de interrupción sobre la gráfica, se dice que la función es discontinua en dicho punto

Una función f es continua en un número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguiente:

i) f (a) existe;

ii) lim͢ₓ_ₐ f(x) existe;

iii) lim͢ₓ_ₐ f(x)= f(a)

Si por lo menos una de estas tres condiciones no se cumple en a, entonces se dice que la función

f es discontinua en a.

Ejemplo x²-4 1) La función definida por f(x)=--------- . x-2

Es discontinua en 2, pues dicha función no está definida en el 2. Veamos cómo es su comportamiento gráficamente, mostrado en la figura

La gráfica muestra un salto en el punto (2; 4), esto se debe a la discontinuidad de la función en

x= 2, por lo tanto, f(2) no existe. Observando la gráfica se sospecha que lim f ( x) existe y es igual a 4.

x 2

Veamos si esto es cierto:

x2 4

x 2 x 2

lim lim lim x

x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Cuando una función f presenta las características anteriores, es decir, no está definida en un número a pero lim͢ₓ_ₐ existe, se dice que f presenta una discontinuidad removible o eliminable,

porque si f es redefinida en a de manera que f (a) lim f ( x), la nueva función es continua en a. Si una

x a

discontinuidad no es removible se dice que es una discontinuidad esencial

2 4.

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