Funciones Lineales

Función lineal o de primer grado

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales y cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión matemática es un polinomio de primer grado y se expresa de la siguiente forma:

f(x) = mx+b

donde m y b son números reales

Para que la función sea lineal, esa expresión algebraica tiene que ser un polinomio de primer grado.

Las Funciones lineales: son rectas

Ya sabes que una función tiene una expresión analítica que no es otra cosa que la expresión en lenguaje algebraico de la función.

Ejemplo: Lenguaje castellano: La “y” se obtiene al multiplicar la “x “por 2 y restarle 3.

Lenguaje algebraico: y=2x-3

Conceptualizaciones geométrica o algebraica

Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.

Se llama expresión algebraica a una combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones del cálculo. Al igualar dos expresiones algebraicas, se obtiene una igualdad. Una igualdad de expresiones algebraicas se denomina ecuación cuando sólo se cumple para determinados valores de la variable o variables (soluciones de la ecuación), e identidad si se cumple para todo valor de la variable o variables (incógnitas) que contiene. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Representación gráfica

Las funciones lineales se representan gráficamente como líneas rectas. Además, como y = mx, si x = 0 entonces y = 0; por lo tanto la gráfica de todas las funciones lineales pasa por el punto (0,0). Para dibujar la gráfica basta con obtener las coordenadas de otro punto, dando un valor arbitrario a la x y unir ese punto con el origen de coordenadas (0,0). Si x=1, entonces y=m, por tanto m representa la variación de la y por cada unidad de x, es decir, la inclinación o pendiente de la recta. Si m es positiva, representa la cantidad que sube la y por cada unidad de x y si m es negativa la cantidad que baja.

Función afín

Si a dos magnitudes directamente proporcionales se les aplica alguna condición inicial, la función que las liga ya no es totalmente lineal (las magnitudes ya no son proporcionales). Se dice que es una función afín y su forma es: y = mx + n ó f(x) = mx + n

Representación gráfica

Las funciones afines se representan

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