Funciones Lineales

2. Funciones lineales Definicio´n 2.1. Una funci´on T : Rn →Rm es una funci´on lineal si verifica las propieda- des: 1. T(~x + ~y) = T(~x) + T(~y) para todo par ~x,~y ∈Rn. ii) T(λ~x) = λT(~x) para todo λ ∈R y ~x ∈R. Proposici´on 2.1. Si T : U → V es e.v., se cumplen 1. T(~0) = ~ 0 (considerando ~0 = 0~ 0)

2. Para vectores ~x1, ~x2, ..., ~xj de U y escalares λ1, λ2, ..., λ1, se tiene

T(λ1~x1 + λ2~x2 + ... + λj~xj) = λ1T(~x1) + λ2T(~x2) + ... + λjT(~xj)

Ejemplo 2.1. la funci´on T : R2 →R3 definida por: Tx y =  x + y 2x 3x−4y 

.

es una funci´on lineal. Ejemplo 2.2. Es funci´on lineal T : R3 →R2: T  x y z  = x + y 3x−z. 2.1. Kernel (o nu´cleo) e imagen de una funcio´n lineal Definicio´n 2.2. El kernel de una funci´on lineal T : Rn → Rm, tambi´en llamado nu´cleo, es el conjunto ker(T) =n~x ∈Rn | T(~x) = ~ 0o. Ejemplo 2.3. Considerando la funci´on del ejemplo2.1, es f´acil ver que el nu´cleo puede calcularse resolviendo el sistema lineal homog´eneo:    x + y = 0 2x = 0 3x−4y = 0 cuya u´nica soluci´on es la trivial. Es decir, ker(T) = {~ 0}.

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Ejemplo 2.4. Considerando la funci´on del ejemplo 2.2, el nu´cleo se obtiene resolviendo el sistema lineal homogen´eo: (x + y = 0 3x−z = 0 ssi (y = −x z = 3x Luego, se puede concluir que   x y z  ∈ ker(T) ssi existe t ∈R con   x y z  = t  1 −1 3   es decir, el nu´cleo de es una recta que pasa por el origen y tiene vector director  1 −1 3   Los dos ejemplos anteriores mostraron nu´cleos que eran subespacios: el subespacio trivial {~ 0} y una recta que pasa por el origen. El siguiente resultado, demuestra que esto se trata de un hecho general: Proposici´on 2.2. ker(T) es un subespacio vectorial de Rn. Demostraci´on. En primer lugar, la Proposici´on 2.1 dice que T(~0) = ~0, por lo tanto ~ 0 ∈Rn.En segundo lugar, sean ~x ∈ ker(T) e ~y ∈ Ker(T). Notemos que T(~x + ~y) = T(~x) + T(~y) = ~0 +~0 = ~ 0 y por lo tanto, ~x + ~y ∈ ker(T). Finalmente, sea λ ∈R y ~x ∈Rn. Notemos que T(λ~x) = λT(~x) = λ~0 = ~ 0 y por lo tanto, λ~x ∈ ker(T). Definicio´n 2.3. La imagen de una trasformaci´on lineal T : Rn →Rm es el conjunto img(T) =n~u ∈Rm | existe ~y ∈Rn con T(~x) = ~uo. Ejemplo 2.5. Consideremos la funci´on lineal del ejemplo 2.1. En este caso, tenemos que   a b c  ∈ img(T) ssi existe x y∈R2 con   a b c  = Tx y=  x + y 2x 3x−4y   lo que equivale a resolver parax yel sistema de ecuaciones lineales     x + y = a 2x = b 3x−4y = c 33

Mate 3 Manuel Arenas / Sergio Mun˜oz F. Ciencias/UChile La matriz ampliada de ese sistema es  1 1 | a 2 0 | b 3 −4 | c  , que equivale a la matriz escalonaday reducida   1 0 | b/2 0 1 | a−b/2 0 0 | 4a + c−7b/2   De ese modo, para tener soluci´on debe cumplirse 4a + c− 7b 2 = 0, lo que indica que   a b c ∈ img(T) ssi 4a + c− 7b 2 = 0 ssi c = 7b 2 −4a ssi   a b c = a  1 0 −4  + b  0 1 7/2   por lo que img(T) = gen      1 0 −4  ,  0 1 7/2       o sea, la imagen de la funci´on (2.1) es un plano que pasa por el origen, el cual es un subespacio de dimensi´on dos.

Ejemplo 2.6. Consideremos la funci´on del ejemplo 2.2. En este caso, tenemos que a b∈ img(T) ssi existe   x y z ∈R3 con a b= T  x y z =x + y 3x−z lo que equivale a que exista soluci´on para el sistema de ecuaciones lineales(x + y = a 3x−z = b cuya matriz ampliada es1 1 0 | a 3 0 −1 | b, que equivale a la matriz escalonada y reducida 1 0 −1/3 | b/3 0 1 1/3 | a−b/3lo que tiene soluci´on para todos a y b en R. Notemos que en el actual sistema (a diferencia del ejemplo anterior), no hay restric- ciones para los coeficientes a y b. Es decir, este sistema siempre tendr´a infinitas soluciones y por lo tanto se podr´a concluir que en el (2.2) se tiene img(T) = R2.

En ambos ejemplos, hemos obtenido que img(T) es un subespacio vectorial (un plano que pasa por el origen o R2), esto es un hecho general que demostraremos a continuacio´n. Proposici´on 2.3. img(T) es un subespacio vectorial de Rm. Demostraci´on. En primer lugar, notemos que ~0 = T(~0), por lo tanto se verifica que ~ 0 ∈img( T).

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En segundo lugar, sean ~u ∈ img(T) y ~v ∈ img(T). Tenemos que demostrar que ~u +~v ∈img( T), es decir que existe ~z ∈Rn tal que T(~z) = ~u +~v. Como ~u ∈ img(T) y ~z ∈ img(T), usando la definici´on tenemos la existencia de ~x ∈Rn e~y ∈Rn tales que T(~x) = ~u y T(~y) = ~v. Luego, definimos ~z = ~x +~y y usando la propiedad i) se tiene que T(~z) = T(~x + ~y) = T(~x) + T(~y) = ~u +~v y por lo tanto, ~u +~v ∈ img(T). Finalmente, sea ~u ∈ img(T) y λ 6= 0. Tenemos que demostrar que existe ~z ∈ Rn talque T(~z) = λ~u. Como ~u ∈ img(T), existe ~x ∈ Rn tal que T(~x) = ~u y es f´acil verficar que~z = λ~x.

El siguiente resultado es muy importante y se enuncia sin demostraci´on. Teorema 2.1. Para toda funci´on lineal T : Rn →Rm se verifica: dim(ker(T)) + dim(img(T)) = n. (2) Ejemplo 2.7. Consideremos la funci´on lineal T : R3 → R2 vista en (2.2). En las p´agina anteriores vimos que el nu´cleo es una recta que pasa por el origen: ker(T) =(  x y z  ∈R3 | x = −t y = t z = −3t, ) y sabemos que es un subespacio vectorial de dimensi´on 1 (por ejemplo, su base es el vector director). Es decir dim(ker(T)) = 1. Por otro lado, tambi´en demostramos que img(T) = R2 y por lo tanto dim(img(T)) = 2. Luego dim(ker(T)) + dim(img(T)) = 3.

2.2. Matriz representante de una funci´on lineal Consideremos la funcio´n lineal T : Rn →Rm y la base can´onica deRn B = {~v1,~v2,...,vn}. Por otro, lado sabemos que existen n vectores ~yi ∈Rm (i = 1,...,n) tales que: T(~vi) = ~yi i = 1,...,n. (3)

Si s´olo se conocen los valores de una funci´on lineal sobre una base cualquiera, en particular la base cano´nica, entonces podemos conocer los valores de la funci´on sobre todo vector de Rn. En efecto, sea ~z ∈ Rn, como B es una base de Rn existen n escalares ci (i = 1,...,n) tales que: ~z = c1~v1 + c2~v2 + ... + cn~vn. y de hecho, como es base cano´nica de Rn, se tiene ~z =     c1 c2 . . . cn      35

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Como T es lineal, usamos el Comentario 2.1 en conjunto con (3) y se obtiene:

T(~z) = T(c1~v1 + c2~v2 + ... + cn~vn) = c1~y1 + c2~y2 + ... + cn~yn. Ahora, consideremos la base cano´nica B = {~v1,~v2,...,vn} de Rn y la base can´onica deR m definida

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