Funciones Lineales

Función lineal

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

cuando b es distinto de cero.

Ejemplo

Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:

que se conoce como ecuación de la recta en el plano x,y.

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

en esta recta el parámetro m= 1/2 por tanto de pendiente 1/2, es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2.

En la ecuación:

la pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5.

En una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

Dos rectas y sus ecuaciones en coordenadas cartesianas.

Funciones lineales de varias variables

Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

representa un plano y una función

representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n+1)-dimensional.

Formulas Ejemplo

Distancia de un

Segmento

¿Cuándo se utiliza?

Cuando queremos calcular la distancia de un segmento.

Para ello debemos conocer dos puntos cualesquiera. Calcular la distancia del segmento , donde y , son sus extremos.

Solución.

Primero obtenemos los valores

3 , 0 , -2 , 2

Segundo reemplazo en la formula de la distancia y queda:

R: La distancia del segmento es 5.

Punto Medio

¿Cuándo se utiliza?

Cuando queremos hallar el punto medio de un segmento. Para ello debemos conocer dos puntos cualesquiera. Hallar el punto medio del segmento, donde y , son sus extremos.

Solución.

Primero obtenemos los valores

-5 , -3 , -2 , 2

Segundo reemplazamos en la formula del punto medio y queda:

R: El punto medio del segmento es

Pendiente ¿Cuándo se utiliza?

Cuando queremos calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos y :

Solución.

Primero identificamos:

2 , 4 , 5 , 3

Segundo reemplazamos los valores en la formula de la pendiente

R: La pendiente de la recta es -1 lo que significa que es hacia abajo (descendente)

Observación:

Debemos recordar que existen 4 casos posibles:

1) Si m es positivo la recta es hacia arriba (ascendente) 2) Si m es negativo la recta es hacia abajo(descendente)

3) Si m es cero la recta es horizontal con respecto al eje x. 4) Si m es indeterminada la recta es vertical con

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