In Ecuaciones

I.- DESIGUALDADES

En el estudio de las matemáticas además del signo igual (=) aparecerán los signos <, , >,  que sirven para relacionar números o expresiones algebraicas cuando no son iguales.

Por ejemplo, si queremos expresar que 5 es menor que 15, escribimos 5 < 15, y decimos que esta relación es una desigualdad.

Los cuatro signos de desigualdad se leen así:

< menor que ,  menor o igual que

> mayor que ,  mayor o igual que

En el caso de tener una desigualdad doble tal como 5 < x < 7 se lee x es mayor que 5 y menor que 7

II.- INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad en la que aparece alguna incógnita (variables) en uno o en los dos miembros de la desigualdad.

Por ejemplo, es una inecuación la desigualdad: x + 2 < 8 - x

Inecuaciones de primer grado

Una inecuación es de primer grado con una incógnita cuando aplicando las reglas de equivalencia puede transformarse en la inecuación:

ax + b < 0  x + k < 0

Es evidente que el signo < puede sustituirse por cualquiera de los otros; >, , .

Ejemplos:

1) 3x+1 > 2x+5  3x > 2x+5-1

 3x-2x > 4

 x > 4

Respuesta algebraica que se representa

2) 2x + 1  x+3  2x-x  3-1

 x  2

3) 3x+1  5x+1  3(3x+1)  2(5x+1)

2 3  9x+3  10x+2

 3-2  10x - 9x

 1  x

 x  1

Sistemas de Inecuaciones de primer grado con una incógnita

La solución de un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita es un conjunto de números reales que satisfagan simultáneamente todas y cada una de las desigualdades. La solución suele expresarse en forma de intervalo llevando cuidado de expresar correctamente si es abierto o cerrado según el signo de desigualdad utilizado.

Ejemplo:

De la primera inecuación se obtiene que:

De la segunda:

De la tercera:

La solución del sistema es la intersección de los tres intervalos obtenidos:

ya que no existe ningún número real que pueda ser al mismo tiempo menor o igual que 1, mayor que 2 y mayor que 4.

Veámoslo en el siguiente dibujo, donde aparece pintado en rojo la solución de la 1*, en verde la de la 2* y en azul la de la 3*:

Inecuaciones con dos variables

Una inecuación lineal con dos incógnitas es una expresión de alguna de las formas siguientes:

Las inecuaciones lineales con dos incógnitas se resuelven gráficamente ya que las soluciones son los puntos del semiplano en el que queda dividido el plano por la recta que corresponde a la inecuación considerado como igualdad. Esta recta o borde del semiplano no pertenecerá o sí a la solución según la desigualdad sea estricta o no respectivamente. Para saber cuál de los dos semiplanos es el que da la solución bastará tomar el origen de coordenadas (si la recta no pasa por él) o cualquier otro punto de coordenadas sencillas y comprobar si satisface o no la desigualdad, si lo hace, el semiplano que contiene al punto de prueba es el correcto (lo indicaremos con una flecha señalando hacia él), en caso contrario es el otro.

Ejemplo:

Resuelve la inecuación 3x+2y+5<0

Dibujamos la recta 3x+2y+5=0 sobre unos ejes de coordenadas y comprobamos el punto O(0,0), que da:

Luego la solución es la zona sombreada de la figura adjunta.

Se llama sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas al conjunto formado por n de estas inecuaciones, es decir:

o cualquier otro signo de desigualdad.

Obtener la solución de un sistema de este tipo supone obtener el semiplano solución de cada una de las inecuaciones que lo forman y averiguar la intersección de todos ellos.

La solución de un sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas es siempre un conjunto convexo.

Se llama conjunto convexo a una región del plano tal que para dos puntos cualesquiera de la misma, el segmento que los une está íntegramente contenido en dicha región. Como casos particulares, un conjunto convexo puede quedar reducido a una recta, a una semirrecta, a un segmento, a un punto o al conjunto vacío.

Los segmentos que delimitan un conjunto convexo se llaman bordes o lados y, la intersección de ellos, vértices. Los vértices y puntos de los lados que pertenezcan a la solución del sistema de inecuaciones se denominan puntos extremos.

Un conjunto convexo puede ser cerrado o abierto respecto a cada lado o vértice según se incluya éste o no en la solución. Puede ser acotado o no acotado según su área sea o no finita.

Ejemplo:

Resolver el sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas:

Si representamos en los mismos ejes de coordenadas cada una de las rectas que salen al considerar las anteriores desigualdades como ecuaciones e indicamos mediante una flecha el semiplano solución de cada una de ellas por separado, la solución será la región del plano sombreada en la figura que es la intersección de los semiplanos solución de cada inecuación.

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