Sistema De Ecuaciones E In-ecuaciones

Tema II: Sistema de ecuaciones e inecuaciones en dos variables

En una ecuación

Una ecuación es una expresión matemática en la que hay dos partes equivalentes, separadas con un signo igual (=). Cada una de estas partes es un miembro de la ecuación; naturalmente una ecuación está formada por dos miembros separados por el signo igual.

En cada uno de los miembros hay uno o más términos. Un término es una parte de la expresión relacionada término de una ecuación puede ser un monomio o una expresión transcendente.

Dada la ecuación:

tenemos:

la parte de la izquierda del igual (=) se llama primer miembro y la parte de la derecha, segundo miembro. En el ejemplo, el primer miembro es:

que tiene cuatro términos

y el segundo:

con dos términos

• Si en uno de los términos hay una función trascendente, la ecuación es trascendente.

• Si no es transcendente, el grado de la ecuación es el grado del término de mayor grado.

Una ecuación puede tener una o más incógnitas.

Ecuación lineal

En una ecuación lineal cada término está formado por un coeficiente y una incógnita, no elevada a ninguna potencia (con potencia 1, pero no se pone), y términos que no tienen incógnita. Los términos con incógnita se llaman término en..., esa incógnita; los términos que no tienen incógnita se llaman términos independientes. En la ecuación:

donde el término en x es:

los términos en y son:

el término en z es:

y los términos independientes:

Un término se puede pasar de un miembro a otro cambiándolo de signo. Así, en el ejemplo:

podemos pasar todos los términos con incógnitas al primer miembro y los independientes al segundo:

el orden de los términos dentro de cada miembro no modifica la ecuación, por lo que podemos reordenar los términos del siguiente modo:

también se pueden sacar factores comunes si distintos términos los tienen:

y se pueden realizar las operaciones aritméticas que simplifiquen la expresión

La forma normal de representar una ecuación lineal es con todos los términos con incógnitas en el primer miembro y el término independiente en el segundo. Los monomios se simplifican de modo que cada término esté formado por un solo coeficiente y una incógnita; todas las ecuaciones lineales pueden expresarse de esta forma.

Para finalizar esta sección podemos decir que si una ecuación se multiplica por un escalar, la ecuación no varia, así la ecuación:

multiplicada por el número 3, por ejemplo:

haciendo la operación:

dando lugar a una ecuación equivalente a la primera. Del mismo modo si todos los coeficientes de la ecuación tienen un divisor común, se puede simplificar sin variar la corrección de la ecuación, por ejemplo:

Todos los coeficientes tienen al cinco por divisor:

que simplificamos:

Esta simplificación no modifica el sentido de la ecuación.

Convenio de representación

De forma general un sistema de ecuaciones suele representarse empleando la letra a, con los correspondientes subíndices para los coeficientes, la x, con sus subíndices para las incógnitas y la b para los términos independientes, por lo que un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, se representaría así

por sencillez y por costumbre, a la primera incógnita se le suele llamar x y a la segunda y; además se procura evitar el empleo de subíndices por lo que, de forma general, el sistema se suele representar así:

Una ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta en el plano xy, de modo que un sistema de dos ecuaciones permite una representación gráfica como dos rectas en el plano xy, siendo la solución al sistema el punto de intersección de estas dos rectas. Por ejemplo:

si en estas ecuaciones despejamos la y, obtenemos su forma explícita:

estas dos rectas se cortan en el punto:

Partiendo de esta representación y de este ejemplo vamos a ver las formas básicas de resolver dos ecuaciones lineales con dos incógnitas de coeficientes reales.

Tipos de solución

Consideremos un sistema como el siguiente:

En un sistema de ecuaciones se pueden dar los siguientes casos:

Sistema compatible

Si admite soluciones.

La compatibilidad de un sistema se determina a partir del determinante de la matriz 2x2 que constituye el sistema o equivalentemente de los cocientes de la primera ecuación y la segunda.

Sistema compatible determinado

Si admite un número finito de soluciones; en el caso de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, si el sistema es determinado solo tendrá una solución. Su representación gráfica son dos rectas que se cortan en un punto; los valores de x e y de ese punto son la solución al sistema.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es compatible determinado cuando:

Por ejemplo, dado el sistema:

Podemos ver, que:

Lo que da lugar a que las dos rectas se corten en un punto.

Sistema compatible indeterminado

El sistema admite un número infinito de soluciones; su representación gráfica son dos rectas coincidentes. Las dos ecuaciones son equivalentes y una de ellas se puede considerar como redundante: cualquier punto de la recta es solución del sistema.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es indeterminado si:

Por ejemplo con el sistema:

Se puede ver:

Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.

Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:

Tomando la x como variable independiente, y la y como variable dependiente, según la expresión anterior, asignando valoras a x obtendremos el correspondiente de y, cada par (x, y), así calculado será una solución del sistema, pudiendo asignar a x cualquier valor real.

Sistema incompatible

El sistema no admite ninguna solución. En este caso, su representación gráfica son dos rectas paralelas y no tienen

...