Solución de sistemas de ecuaciones lineales

UNIDAD 3

Sistemas de ecuaciones lineales.

Considere el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x,y:

a_11 x+a_12 y=b_1

a_21 x+a_22 y=b_2

Donde a_(11,) a_12,a_21,a_22,b_1 y b_2 son números dados cada uno de estas ecuaciones es la ecuación de una línea recta.

Tipos de solución.

Solución única:

Ejemplo:

x-y=7

x+y=5 x-y=7∴x=7+y

y=x-7

X Y

-7 0

-5 2

-4 3

-1 6

x-y=7

▁(x+y=5)

2x+0=12

2x=12

x=12/2

x=6

X Y

-7 0

-5 2

-4 3

-1 6

x+y=5 x+y=5∴y=5-x

y=5-x

y=5-6

y=-1

Numero infinito de soluciones.

Ejemplo:

x-y=7

2x-2y=14

-2x+2y=-14 x-y=7 2x-2y=14

▁(2x-2y=14) x=7+4 2x=14+2y

0=0 y=x-7 2y=2x-14

y=(2x-14)/2

y=x-7

X Y

-7 0

-5 2

-4 3

-1 6

Sin solución:

Ejemplo:

x-y=7 x-y=7 2x-2y=13

▁(2x-2y=13) 2x=13+2y

-2x+2y=-14 y=(-2x+13)/2

▁(2x-2y=13) y=x-6.5

0=-1

X Y

-7 0

-4 2

-2 3

-1 6

X Y

-6.5 0

-3.5 3

-1.5 5

-.5 6

〖2x〗_2+〖3x〗_2=4

〖2x〗_1-〖6x〗_2+〖7x〗_3=15

x_1-〖2x〗_2+〖5x〗_3=10

├ ■(0&2&3@2&-6&7@1&-2&5)┤| ■(4〖 R〗_1@15 〖 R〗_2@10 R_3 ) ├ ■(2&-6&7@0&2&3@1&-2&5)┤| ■(15 R_1@4 R_2@10 R_(3 ) ) ├ ■(1&-3&7/3@0&2&3@1&-2&5)┤| ■(15/2 〖 R〗_1a=R_1/2@4 R_2 @10 R_3 )

├ ■(1&-3&7/2@0&2&3@0&1&3/2)┤| ■(15 R_1a @4〖 R〗_2 @5/2 〖 R〗_3a=(-1) R_1a+R_3 ) ├ ■(1&-3&7/3@0&1&3/2@0&1&3/2)┤| ■(15/2 R_1a @2 R_2a=R_2a/2@5/2 R_3 ) ├ ■(1&0&8@0&1&3/2@0&1&3/2)┤| ■(27/2 R_1b=(3)@2 R_2a @5/2 R_3a )

├ ■(1&0&-1@0&1&2@0&0&0)┤| ■(1 R_1b @4 R_2b @ 0=(-3) R_2b+R_3a )

x_1=1

x_2=4

x_3=0

2(1)+(4)+6(0)=2+16+0=18

4(1)+5(4)+6(0)=2+28+0=30

30=30

x_1-x_3=1

x_1=1+ X_3

X_1+2X_3=4

X_2=4-2x_3

Solución: (x_1,x_2,x_3 ) (1+ x_3,4-〖2x〗_3,x_3)

├ ■(1&0&-1@0&1&3@0&0&0)┤| ■(1@4@0)

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