Integrales

Podemos definir una función de dos variables z=f(x,y) en la región R, para la ij-ésima partición sería:[pic 1]

Su significado geométrico sería el siguiente:

 Donde el punto (x1 , y1) representa cualquier cualquier punto del rectángulo basal. [pic 2]

El volumen del paralelepípedo en la figura se representa con: [pic 3]

Si queremos determinar el volumen bajo la superficie del paralelepípedo se puede calcular de la siguiente manera: [pic 4]

Entonces de esto podemos obtener la definición de una integral múltiple (doble en este caso). Sea f una función de dos variables definida en una región plana:

[pic 5]

Entonces al [pic 6] se le denomina integral doble en R y se denota de la siguiente manera[pic 7], y en el caso de que el límite nombrado anteriormente existe podemos decir que la integral de la función f es integrable en el dominio de R.

        En el caso de que f esté acotada en R y sea continua en R, se dice que la función f es integrable en R.

¿Cómo se calculan las integrales dobles?

        Se calculan de manera, que la integración debe ir de adentro hacia afuera. De la siguiente manera es la manera de integrar:

[pic 8]

        Veamos un ejemplo de integrales dobles.

                                                               [pic 9]

                                                 Donde se puede observar que en la integral pedida, se integra desde ´´adentro´´ hacia ´´afuera´´. [pic 10]

Primero se integra con respecto a y (dy), la x se mantiene como una constante, ya que no varía con respecto a y. Luego se evalúan en la integral los valores de los límites (de la integral definida). Se continúa a integrar con respecto a x (dx), y se evalúan los límites de la integral definida, en este caso el resultado de la integral.

        La diferencia principal que existe entre integrales dobles e integrales simples:

• Las integrales simples están delimitadas a calcular áreas bajo la curva, una manera de calcular volúmenes es aplicando los sólidos de revolución, para poder aplicar a calcular volumen de algún cuerpo, o su área de superficie. En cambio las integrales dobles, por definición, se utilizan para calcular volumen de cuerpos o áreas de superficie, pero de una manera más sencilla, los cálculos se hacen más sencillos que integrales simples, pero el problema es que lo difícil es armar la integral, ya que no es fácil elegir los límites de la integral y menos con que variable se debe partir integrando.
• Otra diferencia es que en las integrales simples, al estar ´´destinadas´´ a calcular áreas bajo la curva, solo se utiliza una función para integrar y calcular el área. En cambio en las integrales dobles, se utiliza un área de región plana y se multiplica por una altura, para así formar un volumen del cuerpo que se delimita por los valores que se le darán a la integral.  
• En general las integrales simples están destinadas a ser usadas en casos dos dimensiones y las integrales dobles están destinadas a ser usadas en casos de tres dimensiones.

Trabajo Integrales dobles

                                              Nombre: Hardy Weissohn

                                             Profesor: Gonzalo Argomedo

                                                  Ramo: Calculo 2

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