Las Leyes De Los Exponentes

Las leyes de los exponentes

A la hora de evaluar y simplificar exponentes, utilizamos las Leyes de los Exponentes, una serie de reglas que nos sirven para hallar el valor de una expresión más rápidamente.

Ley #1: am×an=am+n

Ilustración #1: 64 ×62

64=6×6×6×6

62=6×6

64 ×62=(6×6×6×6)(6×6)=(6×6×6×6×6×6)=66

Por tanto, 64 ×62=64+2=66

Ilustración #2: a3 ×a5

a3=a×a×a

a5=a×a×a×a×a.

a3×a5=(a×a×a)(a×a×a×a×a)=(a×a×a×a×a×a×a×a)=a8

Por tanto, a3 ×a5=a3+5=a8

Ejemplo: Halle el valor de c6 ×c7

Solución: Como los exponentes que vamos a multiplicar tienen bases iguales, podemos resolver usando la Ley #1 de los exponentes:

c6 ×c7=c6+7=c13

Ley #2: (a×b)n=an×bn

Ilustración #1: (4×5)3

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores:

(4×5)3=(4×5)×(4×5)×(4×5)

Ahora, agrupamos términos semejantes:

=(4×4×4)×(5×5×5)

Finalmente, por la definición de exponente:

=43×53

Ilustración #2: (c×d)4

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores:

(c×d)4=(c×d)×(c×d)×(c×d)×(c×d)

Ahora, agrupamos términos semejantes:

=(c×c×c×c)×(d×d×d×d)

Finalmente, por la definición de exponente:

=c4×d4=c4d4

Ejemplo: Halla el valor de (2a)5.

Solución: Por la Ley #2:

(2a)5=(2×a)5=25×a5=32a5

Ley #3: (ab)n=anbn

Ilustración #1: (75)3

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente:

(75)3=(75)×(75)×(75)

Ahora, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador:

=7×7×75×5×5

Finalmente, aplicamos la definición de exponente:

=7353

Ilustración #2: (pq)5

Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente:

(pq)5=(pq)×(pq)×(pq)×(pq)×(pq)

Ahora, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador:

=p×p×p×p×pq×q×q×q×q

Finalmente, aplicamos la definición de exponente:

=p5q5

Ejemplo: Halle el valor de (3xy)4.

Solución: Por la Ley #3:

(3xy)4=(3×xy)4=34×x4y4=81x4y4

Ley #4: (an)m=an×m

Ilustración #1: (32)5

Expandemos 32:

(32)5=(3×3)5

Entonces, expandemos (3×3)5

(3×3)5=(3×3)×(3×3)×(3×3)×(3×3)×(3×3)

=3×3×3×3×3×3×3×3×3×3

Aplicando la definición de exponente:

=310

Ilustración #2: (d4)2

Expandemos d4:

(d4)2=(d×d×d×d)2

Entonces, expandemos (d×d×d×d)2

=d×d×d×d×d×d×d×d

Aplicando la definición de

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