Lenguaje de las matematicas

En estas notas se busca describir el telón de fondo sobre el cual se puede dibujar en primer plano la concepción sobre la cual reposa la definición de lenguaje formal, entendido en el contexto de la lógica moderna. Cuando, por ejemplo, los intuicionistas establecen su definición de matemáticas, ellos usan estrictamente lenguaje filosófico y no matemático. Estos símbolos, uno por cada término indefinido de la teoría axiomatizada T, usualmente se denominan parámetros del lenguaje de primer orden L. Este conjunto de símbolos corresponde al quinto término del vocabulario de nuestro lenguaje L para la teoría T.

Por ejemplo, entre los términos indefinidos de la geometría plana de Euclides, aparece punto, recta, interestancia, incidencia, etc. y para cada uno de ellos usamos símbolos apropiados para completar el vocabulario del lenguaje de primer orden L. Puesto que los parámetros son los únicos símbolos en el vocabulario de un lenguaje de primer orden que dependen de la teoría previamente axiomatizada T, uno formaliza T simplemente escogiendo estos parámetros. Uno puede ahora expresar en el lenguaje de primer orden resultante L, no sólo los axiomas, definiciones y teoremas de T, si no mucho más.

Uno puede expresar en el lenguaje L, todos los axiomas de la lógica clásica y desde luego, también toda la argumentación que uno usa en la prueba de los teoremas de la teoría T. Este fue el caso de Giuseppe, Peano que usó lenguaje formal en la publicación de uno de sus más importantes artículos sobre ecuaciones diferenciales, donde se notan errores en el propósito de la formalización. Su artículo 15 era ilegible, hasta que alguien le hizo el favor de traducirlo al alemán, un lenguaje corriente a través del cual, se pudo valorar la importancia del tema en la teoría de las ecuaciones diferenciales. Supongamos que T es una teoría axiomatizada, formalizada en términos de un lenguaje de primer orden L. Este lenguaje tiene una sintaxis precisa susceptible de estudiarse a su vez como un objeto matemático. Supongamos que T es tal teoría y que T se ha formalizado por medio de un lenguaje de primer orden L. Sea de nuevo T una teoría axiomatizada, formalizada en términos de un lenguaje de primer orden L. Para llevar a cabo el programa de Hilbert, se debe hablar sobre el lenguaje L como un objeto de estudio, y mientras se hace esto, uno no está hablando en la seguridad de ese mismo lenguaje L. Al contrario, uno está hablando acerca de L en lenguaje ordinario, digamos en nuestro caso, en español corriente.

Mientras usemos nuestro lenguaje corriente y no lenguaje formal, hay, desde luego, peligro de contradicciones, por cuanto, pueden eventualmente deslizarse errores. Hilbert decía que la forma de evitar el peligro que estos errores se introduzcan, era teniendo la certeza que, mientras uno habla en su lenguaje natural, acerca de L, sólo se usen razonamientos absolutamente seguros y libres de cualquier clase de sospecha. Es fácil observar que esta definición usa lenguaje filosófico, y no matemático. Similarmente, cuando los formalistas tratan de probar que cierta teoría axiomatizada T está libre de contradicciones, no estudian las entidades abstractas que ocurren en T, si no, más bien, el lenguaje de primer orden L, el cual se usa para formalizar T. El lenguaje se investiga considerando las sentencias o frases de L como expresiones sin significado, que se manipulan según reglas sintácticas explicitas, justamente como se manipulan las piezas del ajedrez, que son figuras sin significado que se mueven de acuerdo a las reglas fijas del juego.

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