Leyes de álgebra proporcional.

   LEYES     DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

Ley de adición

  p

: p  v   q[pic 1]

Cuando se tiene una premisa cualquiera se puede adicionar otra proposición, pero solo con el operador  “ v ”

Ley de simplificación

p ᴧ q

: p  [pic 2]

Si se tiene una proposición compuesta mediante el conector  “ ᴧ ”  se puede simplificar  cualquiera de ellos , si se necesitan simplificar ambos se simplifican pero en diferentes pasos

Ley Modus Ponens

  p → q

  p

: q  [pic 3]

Se toma una condicional y una premisa cualquiera, si esta premisa cualquiera es igual al antecedente de la condicional, resulta el consecuente

Ley modus Tollens

 p → q

  ~ q

: ~ p[pic 4]

Se toma una condicional y una premisa cualquiera, si esta premisa cualquiera es la negación del consecuente, resulta la negación del antecedente  

Ley silogismo disyuntivo

   (MPT)

  p v  q

  ~ q

 : p[pic 5]

Se toma una disyunción y una premisa cualquiera, si esta premisa cualquiera es la negación de cualquiera de los componentes de la disyunción resulta el otro tal como esta

Ley silogismo hipotético

  p → q

  q  → r

: p  → r[pic 6]

Se necesita dos condicionales, el antecedente de uno de ellos debe ser el consecuente del otro, resultando una nueva condicional con en antecedente de la primera condicional  y el consecuente de la segunda condicional

Ley de conjunción

  p

  q

: p ᴧ q[pic 7]

Se toma dos premisas cualquiera de los que existen , esto se puede unir  solo mediante el conector  “ ᴧ ”  

LEYES     DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

Doble negación

~ (~p ) ≡ p

A los paréntesis corchetes tomar como un todo

Conmutativa

p ᴧ q ≡ q ᴧ p

p v q ≡ q v p

p ↔ q ≡ q ↔ p

Solo se puede conmutar las proposiciones  cuando se tiene los conectores :     “ ᴧ “       “ v “    “ ↔ “  mas no otros conectores

Asociativa

p ᴧ (q ᴧr ) ≡ (q ᴧ p) ᴧ r

p v (q v r ) ≡ (q v p ) v r

p ↔ (q ↔ r ) ≡ ( q ↔ p)  ↔ r

Para asociar debe haber  tres proposiciones  conectados con los mismos operadores, además   solo se puede asociar los conectores :     “ ᴧ “        “ v “    “ ↔ “

Distributiva

p ᴧ (q v r ) ≡ (p ᴧ q) v ( p ᴧ r )

p v (q ᴧ  r ) ≡ (p v q ) ᴧ ( p v r)

p → (q ᴧ r ) ≡ ( p → q) ᴧ  (p→ r)

De Morgan

~ ( p ᴧ  q ) ≡  ~p v ~q

~ ( p v q )  ≡  ~p ᴧ ~q

Se usa cuando hay una negación de una conjunción o una disyunción  y al operar el paréntesis cambia el operador  si es  ᴧ  se convierte en  v   y viceversa

Absorción

p ᴧ (p v q ) ≡ p

p v (p ᴧ  q ) ≡ p

p ᴧ (~p v q ) ≡ p ᴧ q

p v (~p ᴧ  q ) ≡ p v q

Solo se admite en conjunción  o disyunción

• Los conectores deben ser diferentes   “ ᴧ “     “ v “
• Si el que está afuera es igual a uno que está adentro, no interesa el otro entonces resulta el que está afuera

Condicional

p → q ≡  ~p v q

~(p → q )≡  p ᴧ ~q

Conocido también como implicación material

• Se convierte en una disyuntiva
• Negando al antecedente y el consecuente sigue igual

Bicondicional

p ↔  q ≡  (p → q) ᴧ (q → p)

Se convierte en dos condicionales conectados por el operador  “ ᴧ “    

  Elemento neutro

p v V ≡ V

p ᴧ V ≡ p

p v F ≡ p

p ᴧ F ≡ F

Idempotencia

p ᴧ p ≡ p

p v p ≡ p

Complemento

p v ~p ≡ V

p ᴧ ~p ≡ F