Los primeros aprendizajes algebraicos. El fracaso del éxito

Introducción        

Marco teórico        

Capítulo I        

“Orígenes del lenguaje Algebraico”        

¿Qué es el álgebra?        

Origen del álgebra        

Historia del Álgebra        

Capítulo II        

La ruptura Aritmético – Álgebra        

La dimensión útil del álgebra.        

Problemas que requieren algún tipo de generalización        

La dimensión objeto del álgebra.        

Status de los objetos del álgebra        

Capítulo III        

¿Por qué cuesta tanto aprender algebra?        

Los Símbolos        

Las Letras        

Variables.        

Los Símbolos de Operación        

El signo igual        

Convenios de Notación        

La Generalización y el Álgebra        

Las fases de la generalización        

Ver        

Describir        

Escribir        

El concepto de variable        

Proceso de simbolización        

Significado de los símbolos        

Utilidad de los símbolos        

Problemas relacionados con la Simbolización - Traducción        

Escribir las Ecuaciones        

Transformar el sistema de ecuaciones en una única ecuación.        

Las dificultades de traducción        

Las letras        

Actuaciones ante estas situaciones        

CAPÍTULO IV        

ANÁLISIS DE DISEÑO CIRRICULAR        

Primer año:        

Segundo año:        

La enseñanza de la matemática en la ES        

Fundamentación de la planificación        

Acerca de los errores        

Sobre la evaluación        

Trabajo de Campo        

Encuesta Docente        

ENCUESTA A ALUMNOS        

Resultados Obtenidos del Trabajo de Campo        

CONCLUSIÓN        

APORTES        

Bibliografía:        

Nuestro trabajo de investigación estará basado en la dificultad del aprendizaje del lenguaje algebraico en ecuaciones de primer grado; ya que consideramos que lograr la solución de una ecuación es relativamente una tarea sencilla. En cambio, plantear la ecuación sobre la base de los datos de un problema suele ser más difícil.

El arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir el lenguaje coloquial al lenguaje algebraico.

Como dijo Isaac Newton en su manual de Algebra, “Aritmética Universal”: “Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema cualquiera sea su lengua al idioma algebraico. El lenguaje del Algebra es una ecuación”.

Introducción

El  problema de aprender las transformaciones que permiten una simplificación de las expresiones algebraicas no tiene, pues, una solución sencilla ni mucho menos, simple. No parece que la solución se encuentre por la vía de aumentar la cantidad de ejercicios a realizar. El problema merece una reflexión específica y es por eso que consideramos un buen método partir de los errores cometidos por los alumnos para tratar de ver dónde están, precisamente, las dificultades.

Siguiendo la línea de la didáctica del constructivismo los docentes deberían propiciar discusiones en los encuentros para avanzar en la adquisición del lenguaje simbólico y por lo tanto en el conocimiento algebraico. Asimismo habrá que fomentar la escritura matemática de forma lógica y deductiva; promoviendo que  este lenguaje aparezca en la tarea del aula como una segunda lengua, o al menos bajo los criterios metodológicos utilizados en la enseñanza de una segunda lengua: produciendo situaciones lo más cercanas posibles al mundo real, cotidiano de la vida del alumno.

En matemáticas el constructivismo es una filosofía que afirma que es necesario encontrar (construir) un objeto matemático para poder probar su existencia.

Por tal motivo son objetivos fundamentales para la enseñanza del álgebra:

• Conseguir que los alumnos sean capaces de “expresar” simbólicamente determinadas relaciones y procesos de carácter general.
• Lograr que los alumnos alcancen una destreza suficiente en la “manipulación” de dichas expresiones simbólicas.

En este segundo objetivo, la manipulación ágil y correcta de las expresiones algebraicas en ecuaciones de primer grado para  alumnos de primer y segundo año de la escuela secundaria se basará nuestra investigación, ya que para moverse con soltura en cualquier rama de la matemática, es necesario poseer un cierto dominio del cálculo algebraico.

El no haberlo conseguido supone un serio obstáculo a la hora de enfrentarse a determinados conceptos y problemas. Ahora bien este objetivo no es independiente del primero, el de ser capaces de “expresar” simbólicamente  relaciones y procesos de carácter general.

La cuestión es, entonces, cómo lograr que los alumnos sepan transformar las expresiones algebraicas en otras equivalentes, mediante procesos válidos. Es decir, conseguir que sepan percibir, exactamente, las situaciones de cálculo que tienen ante sí, identificar la transformación o transformaciones correctas que pueden hacer y, finalmente, ejecutarla sin error.

Las traducciones entre el lenguaje coloquial y el simbólico, en ambos sentidos, constituyen conversiones, que en la mayoría de los casos resultan no congruentes, lo que da a lugar a dificultades en el proceso de enseñanza y que no siempre son consideradas por los docentes.

La metodología  sustentada con el lineamiento de la corriente del constructivismo pretende diseñar nuevas estrategias innovadoras para la comprensión del pasaje del lenguaje coloquial al algebraico basado en ecuaciones de primer grado, ya que resolver una ecuación no es adivinar un resultado, es seguir un proceso basado fundamentalmente en las propiedades de las operaciones de adición, multiplicación, sustracción, cociente, etc. Para hallar el valor de la incógnita o variable antes de resolver

una ecuación cualquiera, nos interesa sobre manera saber formar dicha ecuación que no es otra cosa que traducir en enunciado abierto de su forma coloquial a su forma simbólica, es una noción definible dentro del campo de la Lógica Matemática. Su función precisa, como función proposicional, no parece estar dentro de las posibilidades de los alumnos de 12-13 años que hacen su primera aproximación al uso de las letras como variables e incógnitas. Chevallard sostiene que se trata de una noción paradigmática, es decir de una noción herramienta de la actividad matemática, que no constituyen normalmente objeto de enseñanza en la escuela. Será necesario que los alumnos vayan construyendo distintas aproximaciones al lenguaje simbólico. Esto involucra la elaboración de los conceptos de raíz, variables, ecuaciones  equivalentes, etc.

“El lenguaje puede constituirse en condición necesaria para el perfeccionamiento de las operaciones lógico – matemáticas sin ser con todo una condición suficiente de su formación.”

Piaget

“El álgebra es el lenguaje de las matemáticas… las matemáticas son, esencialmente, la expresión (o reducción) de ideas complejas y sofisticadas mediante símbolos, y operaciones sobre símbolos. Una vez que tenemos los símbolos y las operaciones aparece el álgebra”.

D. J. Lewis

“Los símbolos escritos son una manera conveniente y poderosa de representar las situaciones matemáticas y manipular las ideas matemáticas. Una vez que se representa simbólicamente el problema, se puede resolver, a menudo, bastante fácilmente. Cuando el problema es complejo, la representación simbólica llega a ser muy ventajosa”.

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