MATEMATICAS ALGEBRA LINEAL

ANALISIS MATRICIAL

MATRICES

Una MATRIZ es un arreglo rectangular de números, son útiles porque permiten considerar a un arreglo de números como un solo objeto, representarlo por medio de un solo símbolo y realizar cálculos con estos símbolos en una forma muy compacta

Definición:

Se llama MATRIZ a todo conjunto de números colocados en filas y columnas, de tal manera que todas las filas (o columnas) tengan el mismo número de elementos.

Un arreglo rectangular de la forma:

donde los aij son escalares en un cuerpo K( conjunto de números reales o complejos), se llama una Matriz sobre K.

• Las Matrices son arreglos rectangulares de números (reales o complejos) encerrados entre corchetes o paréntesis.

Ejem: ,

• Los números a11, … , amn se llaman ELEMENTOS de la Matriz

• Las Matrices se denotan mediante letras Mayúsculas A, B, etc. o escribiendo el elemento general de la matriz (una letra minúscula) acompañada por dos subíndices, encerrados entre corchetes o paréntesis [aij], (bij), etc.

• Las líneas horizontales del arreglo reciben el nombre de FILAS o RENGLONES, y las verticales se llaman COLUMNAS de la Matriz.

• Se dice que una Matriz con m filas y n columnas es una Matriz de orden mxn, (Tamaño o forma mxn).

• El elemento aij, llamado COMPONENTE ij, ocupa la i-ésima fila y la j-ésima columna. El primer subíndice (i) indica la fila y el segundo (j) indica la columna.

• Si una matriz tiene una sola fila, es decir es de orden 1xn, se denomina Matriz Fila o Vector Fila, y se representa por A = (a1n) = (a11, a12, a13, …, a1n)

• Si una matriz tiene una sola columna, es decir es una matriz de orden nx1, se denomina Matriz Columna o Vector Columna, y se representa por:

Ejemplo:

Si Entonces Sus Filas son

Y sus Columnas son:

A es una matriz de orden (tamaño) 2x3 porque tiene dos filas y 3 columnas

El elemento (o componente) a12 = -3 (Fila 1 y columna 2)

El elemento (o componente) a23 = -2 (Fila 2 y columna 3)

Definición:

Dada A una Matriz de mxn se dice que A es una matriz CUADRADA de orden n, si m = n.

Es decir tiene el mismo número de filas y de columnas

OPERACIONES CON MATRICES

Definición: IGUALDAD DE MATRICES

Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de orden mxn, se dice que A y B son iguales, lo que se escribe como A = B, si y ,

aij = bij

Ejemplo:

Dadas las matrices

y

Entonces A y B son iguales, si y solo si (ssi)

x + y = 3

2z + w = 5

x – y = 1

z – w = 4

Resolviendo el sistema de ecuaciones: x = 2; y = 1; z = 3; w = -1

Definición: SUMA DE MATRICES

Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de orden mxn, se define la SUMA entre A y B , como una matriz C = (cij) de orden mxn, tal que: C = A + B, y ,

cij = aij + bij

La suma de dos matrices del mismo tamaño, es la matriz que se obtiene sumando las componentes correspondientes de A y B.

y

Ejemplo: Dadas las matrices

y

Entonces

Ejemplo: Dadas las matrices

y

Entonces

Definición: MULTIPLICACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

Dada una Matriz A = (aij) de orden mxn y un escalar (k es un número de los reales), se define el producto de k y A, que se escribe como kA o Ak, como una matriz B = (bij) de mxn tal que y : bij = k.aij

Es decir el producto de un escalar k y una matriz A, es la matriz obtenida al multiplicar cada elemento de A por k.

Se define también:

-A = (-1).A y

A – B = A + (-1) B

A la Matriz -A se le llama el NEGATIVO de la Matriz A.

Observación: La suma de matrices de diferente tamaño no está definida.

Ejemplo: Dada la matriz

y k = 3

Ejemplo: Dadas las matrices

y Hallar 2A – 3B

Ejemplo: Dadas las matrices

y Hallar 3A – 5B

Ejemplo: Dadas las matrices A y B, hallar la matriz X tal que A – 2X = 3B

y

A – 2X = 3B → A – 3B = 2X → X = ½(A – 3B)

Definición: MATRIZ NULA

Dada una Matriz A = (aij) de orden mxn, se dice que A es una Matriz NULA o CERO, que se denota como 0, si y : aij = 0

Propiedades de Matrices (Para Suma y Producto por Escalar):

TEOREMA: Sea V el conjunto de todas las matrices mxn sobre un cuerpo K (reales y/o complejos). Entonces para toda matriz A, B, C є V y para todo escalar k1, k2 є K, se cumple:

i) (A + B) + C = A + (B + C)

ii) A + B = B + A

iii) A + O = 0 + A = A

iv) A + (-A) = (-A) + A = O

v) k1(A +B) = k1.A + k1.B

vi) (k1 + k2.) A = k1.A + k2.A

vii) (k1.k2.) A = k1.(k2.A)

viii) 1.A = A; 0.A = O

Definición: MULTIPLICACION DE MATRICES

Dadas dos Matriz A = (aik) de orden mxp y B = (bkj) de orden pxn, se define el producto de A y B, que se escribe como A.B (en ese orden), como una matriz C =(cij) de mxn tal que y :

Es decir si se tienen dos matrices A y B tales que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B, el producto A.B se obtiene multiplicando los elementos de cada fila de A por todas y cada una de las columnas de B.

Ejemplo:

Sean A una matriz de orden 3x2 y B de orden 2x2, entonces el producto A.B está definido ya que el número de columnas de A (2) es igual al número de filas de B (2), y la matriz resultante será de orden 3x2 ya que el número de filas de A es 3 y de columnas de B es 2

3 x 2 . 2 x 2

Entonces:

Es decir para obtener:

el elemento c11, se debe multiplicar los elementos de la fila 1 de A por los elementos de la columna 1 de B;

el elemento c32, se debe multiplicar los elementos de la fila 3 de A por los elementos de la columna 2 de B;

Observación: Si el número de columnas de A no es igual al número de filas de B, entonces el producto A.B no está definido.

Propiedades:

...