MEDIDAS DE LOCALIZACION

\MEDIDAS DE LOCALIZACION

Quizás la medida numérica más importante de localización sea la media o promedio de una variable, que es una medida de localización central. Si los datos preceden de una población el promedio se representa por μ; si proceden de una muestra se representa por [pic 1]

Media de la muestra

[pic 2] =  [pic 3]

donde  ∑xi  = x1 + x2 + x3 + ….+ xn  y n es el tamaño de la muestra.

Como ejemplo, sean los siguientes datos

1. 25  15  10  30

 x1  = 20   x2  = 25    x3  = 15  x4 = 10  y  x5  = 30    n = 5

luego   [pic 4] = (20 + 25 + 15 + 10 + 30) / 5 = 100/ 5 = 20

Media de la población

  μ  = [pic 5],  donde N es el tamaño de la población Y  ∑ xi   = x1 + x2 + x3 + ….+ xN

Lo  anterior es la forma de obtener la media en datos no agrupados es decir, con los datos no resumidos en una tabla de frecuencias.  En el caso de que los datos estén agrupados o resumidos en una tabla de frecuencias, la media o promedio aritmético se obtiene utilizando las frecuencias absolutas o relativas de la tabla así:

[pic 6] ,  donde   xi  es la marca de clase, si  la variable es continua,  ni   son las frecuencias absolutas y n es el tamaño de la muestra. También se puede calcular  utilizando las frecuencias relativas,

[pic 7] ,    donde   xi  es la marca de clase, si  la variable es continua, y fi  son las frecuencias relativas.

Ejemplo 1.  En la siguiente distribución de frecuencias:    

[pic 8]=[pic 9]

   [pic 10]=[pic 11]

Propiedades de la media

1. La suma de las desviaciones de los datos con respecto a la media es cero.

1. Si todos los datos son constantes entonces la media es igual a la constante.

1. Si todos los datos de una muestra se multiplican por una constante la media de dicha muestra resulta multiplicada por la constante.

1. Si a todos los datos de una muestra se  le suma una constante la media de dicha muestra es igual a la media de los datos originales mas el valor de la constante.
2. Si Zi = axi + byi , i= 1,2,3,……,n ; entonces [pic 12], esta propiedad puede generalizarse a la combinación lineal de k variables y puede resumirse diciendo que la media aritmética es un operador lineal.

1. Si una muestra de n elementos, se divide en k submuestras excluyentes y exhaustivas, que tienen n1, n2, n3, ….., nk , elementos (n1+ n2+ n+.. +nk = n)

con promedios [pic 13]respectivamente, entonces el promedio de la media global estará dado por:

                   [pic 14]                           

La mediana

La mediana es otra medida de  localización central de los datos. Es el valor Intermedio cuando los valores de los datos se ordenan en forma ascendente. Con un número impar de datos, la mediana es el valor intermedio. Un número par de observaciones no tiene valor Intermedio, entonces la mediana se obtiene al promediar los dos valores intermedios. En resumen la mediana se puede obtener de la siguiente manera, en datos no agrupados:

    ; Si el número de observaciones es impar, y[pic 15]

;  Si el número de observaciones es par.[pic 16]

Como ejemplo, supongamos que tenemos los siguientes datos ordenados:

X1,  X2,  X3,  X4,  X5

3,     5,    7,    9,  11

Como en número de observaciones es impar entonces la mediana es la observación X(5+ 1) / 2  = X3  o sea que el valor de la mediana es el tercer valor, que es  7.  

Si el número de observaciones es par, como en la siguiente muestra, entonces la mediana se obtiene así:

3, 5, 7, 9, 11, 13

Me = (X 6/2 + X (6/2)  +  1) / 2 = (X3 + X4) / 2 = (7 + 9) / 2 = 8; luego Me=8.

La mediana en datos agrupados

Para obtener la mediana en datos agrupados, se procede de la siguiente manera:
Primero se busca el intervalo donde se encuentre la mediana, o sea en el valor Fi que sea igual o mayor a 0.50.

Luego aplicamos la siguiente ecuación para obtenerla:

     [pic 17]

Donde   l i – 1: es el límite inferior del intervalo donde está la mediana

              F(l i – 1): es la frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior al de la

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