Medidas De Localizacion

MEDIDAS DE DISPERSION (VARIABILIDAD)

Además de las medidas de localización, con frecuencia es conveniente considerar medidas de dispersión o variabilidad. La representatividad de las medidas de localización o de tendencia central, depende del grado de homogeneidad o de dispersión de los datos. Por lo tanto se hace necesario estudiar algunos indicadores de dispersión, con el propósito de tener una medida de confianza en los indicadores de centralidad; consideremos la siguiente situación:

Se tiene dos conjuntos de datos, el conjunto A: 3, 57, 4, 56, y el conjunto B: 29, 31, 28, 32 que tienen igual promedio 30; parece que este promedio representa mejor al conjunto B, ya que los datos de este conjunto se encuentran menos dispersos.

Algunas medidas de dispersión más importantes son las siguientes:

El RANGO: Esta definido por la diferencia entre el mayor y el menor de los datos.

Rango = Max(Xi) – Min(Xi)

Por ejemplo, en el conjunto A : 3, 57,4, 56 el rango es : 57-3 = 54

LA DESVIACION MEDIA:

Es un indicador que corresponde a la distancia promedio de los datos a la mediana.

Si se dispone de una distribución de frecuencias, entonces:

Esta expresión se puede aplicar si los datos están agrupados en intervalos, se reemplaza xi por la marca de clase.

En la muestra 2, 3, 5, 6, 7, cuya mediana es 5, la desviación media es:

Luego, en promedio los datos se encuentran alejados de la mediana 1.6 unidades.

También se puede calcular la desviación Media de los datos, con respecto a la media, para ello se cambia en la formula la Mediana (Me) por la media (x ̅).

En el ejemplo anterior, la deviación media con respecto a la media, es:

La media (x ̅ )=(2+3+5+6+7)/5=4.6 D.M=(|2-4.6|+|3-4.6|+|5-4.6|+|6-4.6|+|7-4.6|)/5=1.68 unidades.

LA VARIANZA.

Es la medida de dispersión más utilizada en estadística. La varianza se define como el promedio de las desviaciones con respecto a la media, elevadas al cuadrado.

σ^2=(∑_(i=1)^N▒〖(x_i-μ)〗^2 )/N (Varianza Poblacional en datos no agrupados)

Ejemplo: Se tienen los siguientes datos de una población de 5 elementos, que tienen las siguientes mediciones:

2, 4, 6, 8, 10 la media poblacional es μ=6 entonces la varianza poblacional es:

σ^2=(〖(2-6)〗^2+〖(4-6)〗^2+〖(6-6)〗^2+〖(8-6)〗^2+〖(10-6)〗^2)/5=(16+4+0+4+16)/5=8 unidades2

s^2=(∑_(i=1)^n▒〖(x_i-x ̅)〗^2 )/(n-1) (Varianza muestral en datos no agrupados)

Ejemplo: Se tienen los siguientes datos de una muestra de 5 observaciones.

2, 4, 6, 8, 10 la media x ̅=6 entonces la varianza muestral

S^2=(〖(2-6)〗^2+〖(4-6)〗^2+〖(6-6)〗^2+〖(8-6)〗^2+〖(10-6)〗^2)/(5-1)=(16+4+0+4+16)/4=10 unidades2

s^2=∑_(i=1)^m▒〖〖(x_i-x ̅)〗^2*f_i 〗 (Varianza muestral en datos agrupados)

Donde x_i son las marcas de clase en la tabla de frecuencias, x ̅ es la media muestral y f_i son las frecuencias relativas.

Ejemplo:

En la siguiente tabla de frecuencias

Intervalo Xi ni fi Xi * fi 〖(x_i-x ̅)〗^2*f_i

10-20 15 5 0,147 2,206 41,333

20-30 25 9 0,265 6,618 12,114

30-40 35 12 0,353 12,353 3,694

40-50 45 8 0,235 10,588 41,215

34 1,000 31,765 98,356

La media x ̅=15*0,147+25*0,265+35*0,353+45*0,235=31,765

La varianza Muestral es :

S^2=〖(15-31,765)〗^2*0,147+〖(25-31,765)〗^2*0,265+〖(35-31,765)〗^2*0,353+〖(45-31,765)〗^2*0,235=98,356 unidades2

Como las unidades de la varianza están elevadas al cuadrado, y lo que necesitamos es la variación de los datos en la misma unidad de los datos, para ello, se le extrae la raíz cuadrada a la varianza, y así obtenemos una medida de mucha utilidad, llamada Desviación estándar.

Entonces, la desviación estándar muestral de los datos agrupados en la tabla anterior, es

S=√98,356 = 9,92 unidades

PROPIEDADES DE LA VARIANZA.

1. La varianza será siempre un valor no negativo.

2. La varianza en datos con valores constantes es cero.

3. Si a todos los valores de la variable se les suma una constante, la varianza no cambia. si y_i=c+x_(i ),entonces Var(y_i )=var(x_i ), para i=1,..,n

4. Si todos los valores de la variable se multiplican por una constante, entonces la varianza queda multiplicada por la constante al cuadrado. si y_i=c*x_(i ),entonces Var(y_i )= c^2*var(x_i ),para i=1,..,n

5.〖 s〗^2=(∑_(i=1)^n▒〖x_i〗^2 )/n-〖(x ̅)〗^2 (en datos no agrupados)

〖 s〗^2=(∑_(i=1)^m▒〖〖x_i〗^2.n_i 〗)/n-〖(x ̅)〗^2 (En datos agrupados, donde x_i es la marca de clase y n_i es la frecuencia absoluta, m el total de clases y n el tamaño de muestra)

S^2=∑_(i=1)^m▒〖〖x_i〗^2.f_i-〖(x

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