MODELO DE EQUILIBRIO

MODELO DE EQUILIBRIO

En la determinación de las ganancias o beneficios de una organización, expresada como la diferencia entre ingresos totales y costos totales, adquiere gran importancia el concepto de punto de equilibrio, es decir el punto de beneficio 0 (cero) en donde

CT = I.

Cualquier cambio en esta igualdad genera déficit o superávit, ganancia o pérdida.

Para este análisis suponemos que los costos variables o costo por unidad de producción y los ingresos por ventas son lineales

Punto de equilibrio:

Si el costo total de producción excede a los ingresos obtenidos por las ventas de los objetos producidos, la empresa sufre una pérdida; si, por el contrario, los ingresos superan a los costos, se obtiene una utilidad o ganancia. Si los ingresos obtenidos por las ventas igualan a los costos de producción, se dice que el negocio está en el punto de equilibrio o de beneficio cero.

Si una empresa posee una función de costos C(x), una función de Ingresos I(x), dadas por:

C(x) = cx + k c: costo de producción por unidad;

k: costo fijo

x: cantidad producida del bien

I(x) = sx s: precio de venta por unidad

X: cantidad vendida del bien

La función de beneficio B(x) estará dada por la diferencia entre la función de ingresos y la función de costos.

B(x) = I(x) - C(x)

B(x) = (s - c)x - k

En el punto de equilibrio la empresa no tiene ganancias ni pérdidas

B(x´) = 0, entonces I(x´) = C(x´)

El punto P(x´; p´) es la solución simultánea de las ecuaciones p = C(x) y p = I(x) y recibe el nombre de punto de equilibrio; x´ es la cantidad de equilibrio y p´es el precio de equilibrio.

Geométricamente P(x´; p´) es la intersección de las rectas que representan a las funciones de costos y de ingresos.

Si x < x´, entonces I(x) < C(x), luego B(x) < 0 indicando que la empresa produce con pérdidas.

Si x = x´ se tiene el punto de equilibrio, la empresa no gana ni pierde.

Si x > x´, entonces I(x) > C(x), luego B(x) > 0 lo que indica que la empresa opera con ganancias.

Gráfica de la zona de pérdida

Gráfica de la zona de ganancias

Ejemplo 1: Los costos fijos de una empresa (luz, teléfonos, alquileres etc.), que son independientes del nivel de producción, ascienden a $ 250.000. El costo variable o costo por unidad de producción del bien es de $ 22,50. El precio de venta del producto es de $ 30,00 por unidad. Calcular su punto de equilibrio.

Podemos determinar la función de costos totales C(x) = 22,50x + 250.000 y la de Ingresos totales I(x) = 30x.

El punto de equilibrio se puede hallar:

a) Trabajando con la función beneficio definida como la diferencia entre ingresos y costos B(x) = I(x) – C(x) y buscando el valor para el cual la utilidad es igual a 0 (cero).

B(x) = I(x) – C(x)

B(x) = 30x – (22,50x + 250.000)

B(x) = 7,50x – 250.0000

En el punto de equilibrio B(x) = 0

0 = 7,50x – 250.000

x = 250.000 / 7,50

x = 33.333,33 unidades

y = $99.999,9

Las coordenadas del punto de equilibrio serán (33.333,33; 99.999,9)

b) Igualando los ingresos a los costos, es decir I(x) = C(x)

30x = 22,50x + 250.000

30x – 22,50x = 250.000

7,50 x = 250.000

x = 250.000/ 7,50

x = 33.333,33 Unidades

y = $99.999,9

La empresa tendrá beneficio 0 (cero) o estará en el punto de equilibrio (no gana ni pierde) cuando produce y vende 33.333 unidades.

En dicho punto tenemos:

I(x) = 30x = 30 33.333 = 100.000

C(x) = 22,50 x + 250.000 = 22,50 33.333 + 250.000 = 100.000

Así podemos concluir que con menos de 33.333 unidades producidas y vendidas la empresa tendrá déficit (pérdida) y con cualquier cantidad superior tendrá ganancia.

Gráficamente:

El punto de equilibrio nos permite medir no solo una relación entre ingresos y costos, sino que tiene otras aplicaciones para la toma de decisiones como por ejemplo la conveniencia de contratar un servicio o no hacerlo, comprar un bien u otro.

Para mayor ilustración tomaremos un ejemplo sencillo

Ejemplo 2: Problema de la facturación:

a) Una empresa para resolver sus problemas de facturación puede optar por:

Alternativa 1: Alquiler de una computadora, los programas y hacer la facturación Costo del alquiler y programas $ 15.000 por año y $ 0,65 es el costo por factura emitida. Por lo tanto la función de esta alternativa podemos definirla como A(x) = 0,65 x + 15.000

Alternativa 2: Contratar un servicio que se encargue del total del trabajo a realizar cuyo costo sería de $ 3.000 anuales más $ 0,95 por factura procesada. Por lo tanto la función de esta alternativa podemos definirla como C(x) = 0,95 x + 3.000

El punto de equilibrio entre estas dos alternativas es aquel en donde los costos de ambos se igualan a un cierto nivel de facturación, es decir:

A(x) = C(x)

0,65 x + 15.000 = 0,95 x + 3.000

15.000 – 3.000 = 0,95 x – 0,65 x

12.000 = 0,30 x

x = 12.000/ 0,30

x = 40.000

Es decir, si se procesan 40.000 facturas anuales ambas alternativas son indistintas pues si en A(x) o C(x) reemplazamos x por 40.000 nos da un costo total de $ 41.000.

Ahora, ¿qué sucede con un nivel de facturación en el orden de las 3.000 y 5.000 unidades?

A(x) = 0,65 . 3.000 + 15.000 = 34.500

C(x) = 0,95 . 3.000 + 3.000 = 31.500

Evidentemente en este nivel de factura la alternativa más conveniente es la 2, de alquilar el servicio completo pues representa un costo menor.

A(x) = 0,65 . 5.000 + 15.000 = 47.500

C(x) = 0,95 . 5.000 + 3.000 = 50.500

En este caso la mejor alternativa es la 1, del alquiler del equipo y programas.

Veamos el problema gráficamente

Como conclusión podemos decir que con una facturación menor a 40.000 unidades conviene contratar el servicio completo y con un nivel mayor a 40.000 la alternativa más beneficiosa es la del alquiler.

a) La misma empresa se plantea una tercer alternativa consistente en el procesamiento manual de la totalidad de la facturación, que no tendría costo fijo anual y su costo por factura sería de $ 1,25. ¿Debe optar por ésta?

Se tiene una nueva función de costos S(x) = 1,25 x.

Representemos las funciones de las tres alternativas a efectos de poder compararlas:

De la observación de la gráfica se concluye que la alternativa más conveniente es en realidad una combinación de las tres opciones (está dada por la traza inferior remarcada en rojo).

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