Matematicas exactas

1. Forma Punto-Pendiente

Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como[pic 1].  En esta ecuación, m es la pendiente y (x1, y1) son las coordenadas del punto.

Veamos de dónde es que viene esta fórmula de punto-pendiente. Aquí está la gráfica de una recta genérica con dos puntos trazados en ella.

[pic 2]

La pendiente de la recta "aumenta conforme va". Ése es el cambio vertical entre dos puntos (la diferencia entre las coordenadas en y) dividida entre el cambio horizontal sobre el mismo segmento (la diferencia entre las corneadas en x). Esto puede escribirse como [pic 3]. Esta ecuación es la fórmula de la pendiente.

Ahora digamos que uno de esos puntos es un punto genérico (x, y), lo cual significa que puede ser cualquier punto en la recta, y el otro punto es un punto específico, [pic 4]. Si sustituimos estas coordenadas en la fórmula, obtenemos [pic 5]. Ahora podemos manipular un poco la ecuación al multiplicar ambos lados de la fórmula por [pic 6]. Que se simplifica a [pic 7].

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12] es el punto-pendiente de la fórmula. Hemos convertido la fórmula de la pendiente en la fórmula punto-pendiente. No lo hicimos sólo por diversión, sino porque la fórmula punto-pendiente es a veces más útil que la fórmula de la pendiente, por ejemplo, cuando necesitamos encontrar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente.

Hagamos otro ejemplo. Considera la recta que pasa por el punto (1, 3) y tiene una pendiente de [pic 13].

 [pic 14]

Sustituyendo estos valores en la fórmula punto-pendiente, obtenemos [pic 15]. Que es la ecuación de la recta.

1.  Pendiente-ordenada al origen 

La forma pendiente-ordenada al origen es una representación específica de las ecuaciones lineales. Tiene la siguiente estructura general. Redoble de tambores...

y=mx+by

Aquí pueden ser cualesquiera dos números reales. Por ejemplo, estas son ecuaciones lineales en forma pendiente-ordenada al origen:

• y=2x+1y
• y=-3x+2.7
• y=10-100x

Por otro lado, estas ecuaciones lineales no están expresadas en la forma pendiente-ordenada al origen:

• 2x+3y=5
• y-3=2(x-1)
• x=4y−7

La forma pendiente-ordenada al origen es la más destacada de las representaciones que hay para las ecuaciones lineales. Para saber por qué, vayamos más a fondo

Los coeficientes en la forma pendiente-ordenada al origen

Además de limpia y sencilla, la forma pendiente-ordenada al origen tiene la ventaja de que exhibe las dos características principales de la recta que representa:

• La pendiente es m.
• La coordenada y de la intersección con el eje y es b,  En otras palabras, la recta se interseca con el eje y en 0,b.

Por ejemplo, la recta y=2x+1y, tiene pendiente 2 y se interseca con el eje y en (0,1):

El hecho de que esta representación dé la pendiente y la ordenada al origen (es decir, la intersección de la recta con el eje y) ¡es la razón por la cuál se llama                 forma pendiente-ordenada al origen! [pic 16]

1. Recta que pasa por dos puntos

Sean dos puntos P y Q del plano de coordenadas (P.x,P.y), (Q.x,Q.y) respectivamente. Por dos puntos siempre pasa una recta que tendrá de ecuación:

y=(Q.y-P.y)/(Q.x-P.x)*(x-P.x)+P.y

Cuando las coordenadas de P y Q coinciden, tenemos un sólo punto en el plano por el que pasan infinitas rectas.

Si desplazamos el punto P por el eje de abcisas, y fijamos el punto Q en el origen, la recta que obtenemos es el eje ox de ecuación y=0.

Cuando la abcisa vale 0 tanto para el punto P como para el punto Q , la recta que se obtiene es x=0, eje Oy

1. Forma simétrica

Ahora vamos a utilizar una forma más de la ecuación de la recta. La ecuación de la recta que estudiamos en la sección anterior solamente nos daba información acerca de la intersección con el eje y Sería mucho mejor tener una forma de la ecuación que nos diera información sobre las intersecciones con los dos ejes y no solamente con uno. Entonces, en este caso deseamos escribir la ecuación de manera que nos incluya las intersecciones con los ejes.

Recuerda que con dos condiciones nosotros podemos determinar de manera única la ecuación de la recta. Nosotros conocemos dos puntos por donde pasa la recta, que corresponden a las intersecciones de la recta con los ejes: A (a,0) y B (0,b) artir de estas condiciones vamos a encontrar la ecuación de la recta y vamos a tratar de reconocer esa información conocida. Utilizamos la ecuación de la recta en la forma dos puntos.

[pic 17]

Ahora podemos dividir ambos lados de la igualdad entre [pic 18] y así obtener:[pic 19]

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