Matematicas

TEMA 1.6 : "PRODUCTOS NOTABLES"

INTRODUCION

las multiplicaciones con expresiones algebraicas son conocidos como productos notables estan pueden verificar que cumplan con ciertas reglas fijas.En estos casos su aplicasion pueden simplificar y tanbien sistematisar las resoluciones de muchas multiplicaciones habituales.

cada producto notable corresponde a una formula de factorizacion,ya sea de cuadrados perfectos que es un producto de dos binomios conjugados y reciprocamente.

BINOMIOS AL CUADRADO

Podemos decir que un binomio al cuadrado es una ecuacion con dos términos y casi siempre están elevados al cuadrado. Un binomio es 2X+5Y

Un ejemplo seria:

(a+b)2 ←--- (ese 2 representa al cuadrado)

( 2a+3b)2

(x+y)2

(3x+y)2

Esta sería una ecuación de dos términos elevada al cuadrado.

Solo hay que elevar al cuadrado el primer término del binomio, sumarle el doble del producto del primero por el segundo y finalmente sumarle el cuadrado del segundo término.

Ejemplo. Obtener el cuadrado de x + 2y y de 3xy + 5.

Usando la identidad se tiene que:

(x + 2y)2 = (x)(x) + 2(x)(2y) + (2y)(2y)

(x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

(3xy + 5)2 = (3xy)(3xy) + 2(3xy)(5) + (5)(5)

(3xy + 5)2 = 9x2y2 + 30xy + 25

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

(a+b)2= a2+ 2ab + b2

Un trinomio de la expresión siguiente: se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

(a-b)2= a2 - 2ab + b2

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.

Ejemplo:

Simplificando:

"BINOMIOS AL CUBO"

Para poder calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, mas el cubo del segundo término.

(a + b) = a + 3a b + 3ab + b

BINOMIOS CONJUGADOS

Cuando se tiene un producto de dos binomios los cuales tienen los mismos monomios excepto porque el signo de uno de los monomios es diferente para ambos a ese producto se le conoce como binomios conjugados y tiene la forma:

(a + b)(a - b)

Si desarrollamos el producto tenemos:

(a + b)(a - b) = (a)(a) + (a)(-b) + (b)(a) + (b)(-b)

(a + b)(a - b) = aa - ab + ba - bb

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Lo que se obtiene es el primer monomio elevado al cuadrado con signo positivo y el segundo monomio elevado al cuadrado con signo negativo. Esto se conoce como diferencia de cuadrados. Esta identidad se puede usar en cualquier caso en que se tengan binomios conjugados.

Ejemplo. Obtener el producto de 2x2 + y y 2x2 - y.

Usando la identidad se tiene que:

(2x2 + y)(2x2 - y) = (2x2)2 - (y)2

(2x2 + y)(2x2 - y) = 4x4 - y2

PRODUCTOS CON TERMINO COMUN

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

Ejemplo:

Agrupando términos:

Luego:

PRODUCTO DE LA FORMA

(ax+b)(cx+d)

La característica de los binomio de la forma (ax+b)(cx+d), es que los terminos de un binomio son semejantes a los terminos del otro binomio.

Ejemplo:

(3x+5a)(4x+9ª)

Donde los términos semejantes son: 3x con 4x, y 5a con 9ª.

El producto de los binomios de la forma (ax+b)(cx+d), se obtiene de la siguiente manera:

1. se multiplican los términos de ambos binomios

2. se multiplica el primer término de cada binomio por el segundo término del otro binomio y se suman los productos obtenidos.

3. se multiplican los segundos términos de ambos binomios

Ejemplo:

(3x+5)(2x+7)=

• la multiplicación de los primeros términos es :(3x)(2x)=6x2

• la suma de los productos del primer término de cada binomio por el segundo término del otro binomio es :

(3x)(7)+(2x)(5)=21x+10x=31x

• la multiplicación de los segundos términos es : (5)(7)=35

• el resultado final es:

6x2 + 31x+35

FACTORIZACION

INTRODUCCION

La factorización es la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de multiplicación. Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos, que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c

Para factorizar un trinomio de la forma:

ax2+bx+c

1. Se eligen dos números d y e que multiplicados den como resultado a,

(d)(e)=a

2. Se eligen dos números f y g que multiplicados den como resultado c,

(f)(g)=c

3. El coeficiente b es igual a la suma de los productos (ef) y (dg) como se indica.

ax2 + bx + c

d f

ef + dg = b

e g

4. La factorización del trinomio es:

ax2 + bx + c =(dx + f)(ex + g)

Como se puede observar d y e se multiplican por la variable a la primera potencia.

Ejemplo 1

Factorizar 6x2+7x+2

Solución

6x2 + 7x + 2

2 1

3 + 4 = 7

3 2

La factorización del trinomio es

6x2+7x+2 = (2x+1)(3x+2)

Ejemplo 2

Factorizar - 12w2 - 7w - 1

Solución

- 12w2 - 7w - 1

- 3 - 1

- 4 + - 3 = - 7

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