Matematics

En el primer tema, aprenderás los conceptos y las operaciones fundamentales de los conjuntos, así como también su representación por medio de diagramas de Venn. En el segundo tema, estudiarás las operaciones fundamentales de los números enteros y sus propiedades, el teorema fundamental de la aritmética, el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, asimismo, se presentarán las operaciones fundamentales de suma, resta, multiplicación y división de números racionales. Finalmente, en el tercer tema, estudiarás los conceptos básicos del álgebra, el lenguaje algebraico, las operaciones con expresiones algebraicas, la factorización, las ecuaciones de primer grado y las ecuaciones cuadráticas.

¡Adelante!

Propósitos

• Identificar la teoría de conjuntos, simbología y terminología necesaria para comprender el lenguaje matemático por medio de ejemplos y ejercicios.

• Exponer la aritmética de los números enteros y números fraccionarios, a través de ejercicios y aplicaciones.

• Plantear y resolver problemas sencillos de la vida cotidiana mediante la aplicación del álgebra, donde se requieran ecuaciones de primero y segundo grado.

• Competencia específica

Recuperar los conceptos, las operaciones y las aplicaciones elementales de la teoría de conjuntos, aritmética y álgebra para plantear y resolver problemas, a través de ejercicios.

4.1. Teoría de conjuntos

A lo largo de las distintas ramas de las matemáticas, la teoría de conjuntos desempeña un papel primordial, debido a que muchas de las identidades y propiedades analizadas en las matemáticas se obtienen de ciertos conjuntos particulares o algunas clases de objetos determinados. Estas ramas son formalmente a través de la teoría de conjuntos. Como consecuencia, muchas preguntas fundamentales acerca de la naturaleza del estudio de las matemáticas son reducidas a preguntas sobre conjuntos. La teoría de conjuntos proporciona una parte de la simbología utilizada en las matemáticas, como la siguiente:

Símbolo Significado

∈ Pertenece

∉ No pertenece

⊂ Contenido

⊄ No contenido

⊃ Contiene

⊅ No contiene

⇒ Implica

= Igual

≠ Diferente

∅ Conjunto vacío

!! Complemento de A

∪ Unión

∩ Intersección

\ Diferencia

4.1.1. Conceptos básicos

Uno de los conceptos más importantes del estudio de las matemáticas son los conjuntos, ya que todo lo que se estudia es relativo a propiedades de algunos conjuntos en particular. La palabra conjunto no tiene una definición concreta, sin embargo, intuitivamente se entiende que un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos. Dichos objetos toman el nombre de elementos o miembros del conjunto, por ello, deforma equivalente se dice que un objeto pertenece a un conjunto dado.

Los conjuntos son representados por letras mayúsculas, por ejemplo, A,B,C,D y los elementos, por letras minúsculas a,b,c,d, etc. Cuando un elemento x pertenece a un conjunto A, se denota por x∈A, en caso contrario, si x no es elemento de A se denota por x∉A. En resumen, dado un conjunto A y un elemento x se cumple una y sólo una de las siguientes condiciones: x∈A ó x∉A.

Existen dos formas de describir los conjuntos:

1. Por extensión: Aquí se presentan todos los elementos de un conjunto entre los símbolos de llaves

{ , }. Cuando los elementos del conjunto son conocidos y son un número muy grande, se utilizan puntos suspensivos (…). Por ejemplo, se tienen los siguientes conjuntos:

• A = {a,e,i,o,u}.

• B = {1,2,3,4,5}.

• C = {a,b,c,…,x,y,z}.

• D = {…,-4,-2,0,2,4,…}.

2. Por comprensión: Aquí se usan todas las propiedades que describen a los elementos del conjunto, es decir, si x representa un elemento del conjunto y p es la propiedad que describe al conjunto, entonces se escribe el conjunto de la siguiente forma: {x | p (x) es verdadera}. En palabras, se dice que "el conjunto de todos los x tales que la propiedad p en x es verdadera". Observa cómo se presentan los conjuntos del ejemplo anterior:

• A = {x | x es una vocal}.

• B = {x | x es un número entero positivo menor o igual a 5}.

• C = {x | x es una letral del alfabeto}.

• D = {x | x es un número entero múltiplo de 2}

Diagramas de Venn

Una herramienta muy útil en la teoría de conjuntos son los llamados diagramas de Venn, que son representaciones gráficas de conjuntos, con los cuales se pueden visualizar algunas propiedades de que se presenten en los conjuntos. Usualmente se representa el conjunto universal como un rectángulo y con regiones dentro de él, se muestran los distintos conjuntos en cuestión. Por ejemplo, si se desea representar que A⊂U en un diagrama de Venn, la siguiente figura es ilustrativa:

Contención de conjuntos

Anteriormente, se explicó la relación de pertenencia que hay entre un elemento y un conjunto, ahora se

estudiará la relación de contención, que se da entre dos conjuntos dados. Sean A y B dos conjuntos, se dice

que A es subconjunto B si y solo si todo elemento de A es elemento de B y se denota por A⊂B, en caso

contrario A⊄B. En símbolos, se tiene que A⊂B si y solo si dado x∈A⇒x∈B, lo anterior se lee de la siguiente

manera: dado x elemento de A implica que x es elemento de B.

Cuando A⊂B es común utilizar equivalentemente la palabra contenido, es decir, A está contenido en B.

Además, se define que A incluye o contiene a B si y solo si B⊂A y se denota por A⊃B. Si se quiere ver gráficamente que A⊃B equivalentemente B⊂ A, el diagrama de Venn es la siguiente figura:

Observa los siguientes ejemplos de contención de conjuntos:

1. Sean A={a,e,i,o,u} y B={x | x es una letra del alfabeto}, claramente A⊂ B, ya que toda vocal es una letra del alfabeto.

2. Sean A={x | x es múltiplo de 3} y B = {x | x es múltiplo de 12}, entonces A⊃B, ya que, como se verá más tarde, 12 es múltiplo de 3.

Una consecuencia inmediata de la definición de contención de conjuntos es el siguiente resultado:

Lema: Si A⊂B y B⊂C entonces A⊂ C.

Igualdad entre conjuntos

En matemáticas es común definir algunas propiedades en términos de una igualdad, por ejemplo, un número real es positivo si y solo si x=|x|. En teoría de conjuntos se tiene algo similar, muchas propiedades de conjuntos se presentan en términos de la igualdad de conjuntos, que se define de la siguiente manera:

Se dice que el conjunto A es igual al conjunto B si y

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