Matemática el concepto de: infinito. Georg Cantor

ALEPH CERO

Detrás de de la primera letra del alfabeto hebreo, aleph, está el concepto más abismal de toda la matemática: el infinito, y un hombre: Georg Cantor.

Los números grandes nos abruman: el número de estrellas en el universo, la cantidad de granos de arena de todas las playas, el número de partículas elementales del universo... sin embargo todos estos números son finitos.

Alexander Grothendieck decía que muchas de sus grandes ideas eran en realidad cosas muy sencillas; ramplonas incluso. Esas, cuando funcionan, son las grandes ideas que abren nuevos caminos. Georg Cantor tuvo una idea de este estilo, idea que he visto con mis propios ojos emplear a un niño de menos de un año.

Si un niño que no sabe contar tiene que elegir entre dos conjuntos de caramelos o de pequeños juguetes, es muy probable que comience a emparejarlos hasta que sobren los de una clase cuando están ocupados todos los de la otra. De esta forma, sabe qué conjunto es el mayor, y se lo queda. Cantor tuvo la idea de hacer lo mismo para comparar el tamaño (la potencia) de conjuntos infinitos. Si se podían poner relación uno-uno, es que eran del mismo tamaño. La cosa no parece muy revolucionaria, pero debes pensar que a priori, parecería que dos conjuntos, por el hecho de ser infinitos, van a ser igual de grandes. Plantear siquiera el método de Cantor supone no aceptar esta intuición.

Uno de los primeros resultados de este método de conteo es que un conjunto infinito puede ponerse en relación uno-uno (biunívoca) con una parte de sí mismo. En efecto, tomemos el conjunto N de los naturales, y el conjunto M de los múltiplos de un millón. Es del todo evidente que a cada natural le corresponde un número de millones igual al valor de dicho natural, luego ambos son de mismo tamaño. De hecho, esta será a partir de ahora la caracterización de un conjunto infinito: un conjunto es infinito si y solo si puede establecerse una aplicación biunívoca entre él y un subconjunto de sí mismo.

Si esto les parece extraño, esperen, porque lo peor está por llegar.

El resultado anterior en el fondo nos tranquiliza. Si N es del mismo tamaño que M, parece apoyar la idea de que dos conjuntos, siendo infinitos ambos, son del mismo tamaño, aunque M tenga un elemento por cada millón de elementos de N. Pero Cantor demostró que hay infinitos más insondables que el conjunto de todos los infinitos números enteros. Demostró que el conjunto de los números reales R es tan grande que su potencia es incomparable con la de N. No se puede numerar el conjunto R. De hecho, un minúsculo intervalo de R [0,e], donde e es positivo tan pequeño como queramos tiene un número insondablemente mayor de elementos que el infinito, inacabable, abrumador, inmenso conjunto N.

La intuición se nos rompe

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