Media Aritmetica

LA MEDIA ARITMETICA

En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muéstrales.

Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.

Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observación (persona) tuviera la misma cantidad de la variable.

También la media aritmética puede ser denominada como centro de gravedad [cita requerida] de una distribución, el cual no está necesariamente en la mitad.

Una de las limitaciones de la media aritmética es que se trata de una medida muy sensible a los valores extremos; valores muy grandes tienden a aumentarla mientras que valores muy pequeños tienden a reducirla, lo que implica que puede dejar de ser representativa de la población.

DEFINICION

Dados los n números , la media aritmética se define como:

Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:

Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media de una muestra ( ), mientras que la letra µ (mu) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.

En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido por n : donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística el número de datos se da el resultado

PROPIEDADES

• La suma de las desviaciones con respecto a la media aritmética es cero (0).

• La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a una constante cualquiera se hace mínima cuando dicha constante coincide con la media aritmética.

• Si a todos los valores de la variable se le suma una misma cantidad, la media aritmética queda aumentada en dicha cantidad.

• Si todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante la media aritmética queda multiplicada por dicha constante.

• La media aritmética de un conjunto de números positivos siempre es igual o superior a la media geométrica:

• La media aritmética está comprendida entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de datos:

En otros términos hay por lo menos un dato que es mayor o igual que la media aritmética.

Por ejemplo, es fácil deducir que en una reunión de 38 individuos hay necesariamente al menos 4 que nacieron el mismo mes. El promedio de individuos que nacieron por mes es 38/12 ≈ 3,167. Luego en algún mes nacieron en una cantidad entera y mayor o igual que el promedio, o sea 4 ≥ 3,167.

LA MEDIA PONDERADA

La media ponderada es una medida de tendencia central, que es apropiada cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa (o peso) respecto de los demás datos. Se obtiene multiplicando cada uno de los datos por su ponderación (peso) para luego sumarlos, obteniendo así una suma ponderada; después se divide ésta entre la suma de los pesos, dando como resultado la media ponderada.

DEFINICION MATEMATICA

Para una serie de datos no vacía

a la que corresponden los pesos

la media ponderada se calcula de la siguiente manera

EJEMPLOS

Se puede usar una media ponderada para calcular la nota final de un curso escolar, en donde se asigna distinta importancia (peso) a los distintos exámenes que se realicen. Por ejemplo, los dos primeros exámenes tienen un peso o valor de 30% y 20% respectivamente, y el último del 50%; las calificaciones respectivas son de 6.4, 9.2 y 8.1, entonces la nota final corresponde a la siguiente media ponderada:

Datos:

Pesos:

Media Ponderada:

ANALOGIA

Si se consideran n puntos diferentes en el plano, con sus respectivas masas, es posible hallar un punto, que algunos llaman baricentro, que representa la masa promedio.

LA MEDIANA

En el ámbito de la estadística, la mediana representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

CALCULO

Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:

1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.

2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.

A continuación veamos cada una de ellas.

DATOS SIN AGRUPAR

Sean los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como , distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: .

Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: , , , , => El valor central es el tercero: . Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo ( , ) y otros dos por encima de él ( , ).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones y . Es decir: .

Por ejemplo,

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