Operaciones Con Polinomios

Operaciones con polinomios

En el álgebra por lo general manejamos combinaciones de números (como -5, 3, 6/7) y letras (como x, a ,w , π ) que a veces se llaman variables.

Cualquier producto de un número (llamado coeficiente) y una o más variables elevadas a potencias se denomina término

Ejemplo: -4 x2y3z

Coeficiente : -4

(Observación si el coeficiente numérico no está escrito, entonces es 1 por ejemplo en el término: xy)

Variables: x2, y3 z

Potencias: 2, 3,1 (la z esta elevada a la potencia 1 pero generalmente no se escribe)

Se llama expresión algebraica a cualquier suma o resta de términos algebraicos. Si la expresión tiene dos términos, entonces es un binomio; si tiene tres términos se llama trinomio; si tiene cuatro o más, hablamos de polinomios.

Se llaman términos semejantes aquellos que tienen exactamente los mismos factores variables (y por consiguiente el mismo grado); solo pueden diferir en el coeficiente numérico.

Ejemplo: -4x2y 7/9 x2y son semejantes

El grado es la suma de los exponentes ( el grado del término -4x2y es 3 porque 2 +1=3)

El grado de un polinomio es el mismo del término de mayor grado

2awz + w2 -54a2w2 este polinomio tiene un grado de 4 ( el termino de mayor grado es: -54a2w2)

Podemos hacer adiciones y sustracciones de términos semejantes sumando o restando los coeficientes de las variables (ver los ejemplos 1, 2, 3)

Ejemplo 1

3x + 2x = (3+2)x= 5 x

En el siguiente ejemplo agrupamos los términos según su semejanza y simplificamos.

4xy+3x + 5xy-2x= (4xy+5xy) + (3x-2x )= (4+5)xy+(3-2)x = 9xy +x

Ejemplo 2

(3x2 + 4xy +5y2+1) –( 6x2-2xy+4) =

Si un paréntesis está precedido de un signo menos – se elimina después de cambiar todos los signos de los términos del interior del paréntesis:

(3x2 + 4xy +5y2+1) - 6x2 + 2xy - 4 =

3x2 - 6x2+ 4xy + 2xy+5y2 +1- 4 =

-3x2 + 6 xy +5y2- 3

Multiplicación de monomios y potencias de la misma base

Para multiplicar potencias de la misma base se conserva la base y se suman los exponentes

La propiedad anterior la podemos escribir con símbolos como: xaxb = xa+b

Por ejemplo:

x4 x3 = x4+3 = x7

a5ab2b3 = a5+1b2+3 =a6b5

310 x 32 = 310+2 = 312

Para hallar la potencia de una potencia de una base se conserva dicha base y se multiplican los exponentes

(xa)b = xab

Por ejemplo:

(X4)3 =x12 ya que (X4)3 = (X4) (X4) (X4)

(52)4= 58 ya que (52)4= (52) (52) (52) (52)

El orden de los factores no altera el producto

Por ejemplo:

3x 4x2 = (3)(4) xx2 = 12x2

(2)(3)(5) = (3)(5)(2) = 30

Multiplicar un monomio por un polinomio

Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica

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