OPERACIONES CON POLINOMIOS: DIVISIÓN POR LA REGLA DE RUFFINI

OPERACIONES CON POLINOMIOS: DIVISIÓN POR LA REGLA DE RUFFINI

EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1:

A = 10 x2 - 5 - 3x4 + 2x3

B = x + 2

A:B = (10x2 - 5 - 3x4 + 2x3) : (x + 2) =

1) Polinomio A ordenado y completo: -3x4 + 2x3 + 10x2 + 0x - 5

2) El término independiente del polinomio divisor, con el signo "cambiado": -2

Cociente = -3x3 + 8x2 - 6x + 12

Resto: -29

Solamente se puede aplicar la Regla de Ruffini cuando el divisor es un binomio de la forma: (x - a). Por ejemplo: (x - 3), (x + 2), (x - 1/2), etc.

Para aplicar la Regla de Ruffini, se ponen los coeficientes de dividendo

-completo y ordenado de mayor a menor grado-, y el opuesto del número "a" del divisor (El opuesto del término independiente. Si es una suma, queda un número negativo. Si es una resta, queda un número positivo). Las x (o letras) del polinomio se quitan, y se hacen determinadas operaciones entre los números (ver en la EXPLICACIÓN todos los pasos). Luego, en el resultado, el último número de la derecha es el Resto de la división; y los otros números son los coeficientes del Cociente (resultado de la división), a los que hay que agregarles las "x" en orden de izquierda a derecha, comenzando por un grado menos que el del dividendo y disminuyendo hasta llegar a un término independiente (grado cero).

Hay divisores de grado 1 que no tienen la forma (x - a), pero que pueden ser modificados de alguna manera para que la tengan, y así luego poder usar la Regla de Ruffini (Ver EJEMPLO 7 y EJEMPLO 6)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (El dividendo A no tiene término independiente)

A = -4x4 + 30x + x5

B = x - 3

A : B = (-4x4 + x5 + 30x) :(x - 3)

1) Polinomio A ordenado y completo: x5 - 4x4 + 0x3 + 0x2 + 30x + 0

2) El opuesto del término independiente del polinomio divisor: 3

Cociente = x4 - x3 - 3x2 - 9x + 3

Resto: 9

Si no hay término independiente en el dividendo, hay que completarlo con "0", tal como se completan los otros grados intermedios. El coeficiente de la x5 es 1, pues x5 es igual a 1.x5. En el resultado también quedaron coeficientes "1" y "-1", pero luego en el Cociente no hace falta ponerlos.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Con el dividendo muy incompleto)

A = 2x - x7

B = x + 1

A : B = (2x - x7):(x + 1)

1) Polinomio A ordenado y completo:

-x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 2x + 0

2) El opuesto del término independiente del polinomio divisor: -1

Cociente: -x6 + x5 - x4 + x3 - x2 + x + 1

Resto: -1

No hay que olvidarse ningún cero, ya que deben rellenarse las columnas de todos los grados.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Caso particular: El dividendo es un polinomio de grado 1)

A = -3x + 5/2

B = x - 4

A : B = (-3x + 5/2):(x - 4)

Polinomio A ordenado y completo: -3x + 5/2

El opuesto del término independiente del polinomio B: -(-4) = 4

Cociente: -3

Resto: -19/2

Como el grado del dividiendo es 1, el grado del cociente es 0 (un grado menos que el dividendo). Así que el cociente es un "número solo" (término independiente, término de grado 0).

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5: (Polinomios con dos letras)

A = x5 + y5

B = x + y

A : B = (x5 + y5):(x + y)

El polinomio A completo y ordenado: x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + y5

El opuesto del término independiente del polinomio B: -y

Cociente: x4 - yx3 + y2x2 - y3x + y4

Resto: 0

Divisiones como éstas se presentan en el Sexto caso de factoreo, y se las puede resolver aplicando la regla de Ruffini, tomando a una de las letras como la "indeterminada" del polinomio, y a la otra letra como si fuera un número.

En este ejemplo tomo a la "x" como indeterminada ("la letra del polinomio"), y a y5 lo tomo como si fuera un número. Como el término y5 no tiene la indeterminada "x", cumple el papel del término independiente. Por eso tengo que completar los grados intermedios entre 5 y 0. En el divisor, la "y" es el término independiente.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 6: (Modificación del divisor: "Cuando la letra es negativa")

A = 2x3 - x2 + 5

B = 3 - x

Se divide a -A por -B, porque si la letra de B es negativa, en -B será positiva. El cociente dá igual que al dividir A:B, y el resto dá el opuesto (hay que cambiarle el signo):

-A = -(2x3 - x2 + 5) = -2x3 + x2 - 5

-B = -(3 - x) = (-3 + x) = x - 3

(-A):(-B) = (-2x3 + x2 - 5):(x - 3)

El polinomio -A completo y ordenado: -2x3 + x2 + 0x - 5

El opuesto del término independiente del polinomio -B: -(-3) = 3

Cociente de A:B = Cociente de (-A):(-B) = -2x2 - 5x - 15

Resto de A:B = -Resto (-A):(-B) = -(-50) = 50

El cociente de A:B es el mismo cociente de (-A):(-B). Entonces, para que la letra del divisor sea positiva, se puede dividir por -B, pero a -A. Y el Resto no es igual, sino que es el opuesto del que se obtendría dividiendo A:B. La justificación de esto se puede ver en los comentarios de la EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 7: (Modificación del divisor: "Cuando hay un número multiplicando a la letra")

A = -9x2 - x + 5x4

B

...