Operaciones Lineales

TALLER

FASE 1

Temática

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Ecuación diferencial lineal

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:

Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.

En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.

Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Grado de la ecuación

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación.

dy/dx+cos⁡(y)=0 La ecuación es no lineal ya que está siendo multiplicada por la variable independiente y se observa que el orden de la ecuación es de primer orden.

y´´+y=0 Se puede observar en la ecuación propuesta que la ecuación diferencial es una ecuación lineal ya que está cumpliendo con la forma lineal por la posición como se ubican sus términos, además se observa que el orden de la ecuación es de 2do grado.

(d^2 y)/(dx^2 )+dy/dx-y=e^x El ejercicio propuesto es no lineal ya que está utilizando la variable dependiente como exponente y depende del valor de esta variable, el grado de la misma es de 2do grado.

(y-x)dx+4xdy=0 La ecuación se puede observar que es de primer orden.

Muestre que y=1/x es una solución de la ecuación diferencial

(dy/dx)+y^2+y/x-1/x^2 =0

y´=dy/dx

Se pasan todos los términos a la derecha dejando solo el diferencial dy/dx de la siguiente manera

(dy/dx)=-y^2-y/x+1/x^2

Se realiza la operación de derivación sobre y=1/x y su derivada es y´=-1/x^2

Se realiza la sustitución del valor de y´en la ecuación (dy/dx)=-y^2-y/x+1/x^2 donde la ecuación queda de la siguiente forma

(1/x^2 )=-y^2-y/x+1/x^2

El siguiente paso es sustituir el valor de y sobre la ecuación resultante.

(1/x^2 )=-(〖1/x) 〗^2-(1/x^2 )/x+1/x^2

En esta forma de la ecuación se realiza la resolución del ejercicio.

-1/x^2 =-1/x^2

Con la solución anterior se puede evidenciar que y=1/x es una solución de la ecuación

(dy/dx)=-y^2-y/x+1/x^2 =0

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