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PROGRAMACIÓN LINEAL (SIMPLEX)


Enviado por   •  16 de Septiembre de 2017  •  Tarea  •  967 Palabras (4 Páginas)  •  279 Visitas

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PROGRAMACIÓN LINEAL

Un fabricante produce dos productos, A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo en tres máquinas, como se indica a continuación:

PRODUCTO

HRS

MÁQUINA 1

HRS

MÁQUINA 2

HRS

MÁQUINA 3

UTILIDAD

A

2

4

3

$250 POR KILO

B

5

1

2

$300 POR KILO

Si los número de horas disponibles en las máquinas al mes son 200, 240 y 190 en el caso de la primera, segunda y tercera, respectivamente, determine cuántas unidades de cada producto deben producirse a fin de maximizar la utilidad total.

  1. Formulación del problema:

Variables:

X1: N° de unidades fabricadas de producto A.

X2: N° de unidades fabricadas de producto B.

Restricciones Funcionales:

Horas disponibles en la primera máquina: 2X1 + 5X2 ≤ 200

Horas disponibles en la segunda máquina: 4X1 + X2 ≤ 240

Horas disponibles en la tercera máquina: 3X1 + 2X2 ≤ 190

Restricciones de no negatividad:

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0  

Función Objetivo:

Maximizar la utilidad total de la producción:

Maximizar Z = 250X1 + 300X2

Modelo Completo:

Maximizar Z = 250X1 + 300X2

Sujeta a:

2X1 + 5X2 ≤ 200

4X1 +   X2 ≤ 240

3X1 + 2X2 ≤ 190

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0


  1. El método simplex.

Max. Z = 250X1 + 300X2

Sujeta a:

2X1 + 5X2 ≤ 200

4X1 +   X2 ≤ 240

3X1 + 2X2 ≤ 190

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

Pasamos el problema a su forma estándar.

Igualamos la ecuación de la función objetivo, obteniendo la ecuación cero:

  1. Max. Z - 250X1 - 300X2 = 0

Agregamos las variables de holgura a las restricciones funcionales, sumamos la variable de holgura por ser restricciones del tipo ≤, para convertir las desigualdades en igualdades obteniendo las nuevas ecuaciones:

  1. 2X1 + 5X2 ≤ 200                        2X1 + 5X2 + h1 = 200[pic 1]
  2. 4X1 +   X2 ≤ 240                        4X1 +   X2 + h2 = 240
  3. 3X1 + 2X2 ≤ 190                        3X1 + 2X2 + h3 = 190

Las restricciones de no negatividad ahora incluyen las variables de decisión y las variables de holgura:

Decisión: X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

Holgura: h1 ≥ 0, h2 ≥ 0, h3 ≥ 0

Pasamos a la forma tabular, construyendo la primera tabla simplex o matriz de coeficientes:

ITERACIÓN 0

[pic 2]

No es la solución óptima, ya que el problema es para maximizar y la ecuación 0, tiene los coeficientes negativos.

Se elige la variable de entrada VE=X2, que tiene el coeficiente de mayor valor absoluto en la ecuación 0, que es 300.

Se elige la variable de salida VS=h1, que tiene la razón mínima positiva que es 40.

Se elige el elemento pivote = 5, por ser la relación entre la variable de entrada y la variable de salida.

La ecuación pivote es 1.

Hacemos 1 el elemento pivote:

1/5 EC 1  Nueva EC 1

2X1 + 5X2 + h1 = 200    2/5X1 + X2 + 1/5h1 = 40

Hacemos 0 los coeficientes de la variable de entrada:

Ecuación 0:

300 EC 1 + EC 0   Nueva EC 0

300(2/5X1 + X2 + 1/5h1 = 40) + (Z - 250X1 - 300X2 = 0)

(120X1 + 300X2 + 60h1 = 12000) + (Z - 250X1 - 300X2 = 0)

Z - 130X1 + 60h1 = 12000

Ecuación 2:

-1 EC 1 + EC 2   Nueva EC 2

-1(2/5X1 + X2 + 1/5h1 = 40) + (4X1 +   X2 + h2 = 240)

(-2/5X1 - X2 - 1/5h1 = -40) + (4X1 +   X2 + h2 = 240)

18/5X1 - 1/5h1 + h2 = 200

...

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