Polinomio característico

Polinomio característico

En álgebra lineal, se asocia un polinomio a cada matriz cuadrada llamado polinomio característico. Dicho polinomio contiene una gran cantidad de información sobre la matriz, los más significativos son los valores propios, su determinante y su traza

Dada una matriz cuadrada A, queremos encontrar un polinomio cuyas raíces son precisamente los valores propios de A. Para una matriz diagonal A, el polinomio característico es fácil de definir: si los elementos de la diagonal son para , el polinomio característico en la indeterminada es

El polinomio tiene esta forma ya que los elementos de la diagonal de una matriz diagonal coinciden con sus valores propios.

Para una matriz A genérica, se puede proceder de la siguiente forma: Si λ es un valor propio de A, entonces existe un vector propio v≠0 tal que

o

(donde I es la matriz identidad). Como que v es no nulo, la matriz A - λI es singular, que a su vez significa que su determinante es 0. Acabamos de ver que las raíces de la función determinante(A-t I) son los valores propios de A. Como que dicha función es un polinomio en t, ya está.

Sea K un cuerpo (podemos imaginar K como el cuerpo de los reales o de los complejos) y una matriz cuadrada A n-dimensional sobre K. El polinomio característico de A, denotado por pA(t), es el polinomio definido por:

p_A(t)=\det(A-tI),\!

donde I denota la matriz identidad n-por-n. Algunos autores definen el polinomio característico como det(t I-A); la diferencia es inmaterial puesto que los dos polinomios únicamente se diferencian por su signo.

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