Portafolio, Matemáticas Unidad 1

Unidad I LINEA RECTA

Competencia de la unidad de aprendizaje: Determina las diferentes posiciones que puede tener la línea

Introducción

El propósito en este capítulo, es presentar las diferentes formas de la línea recta. Antes de hacerlo, se presentan algunos conceptos preliminares como son el de distancia entre dos puntos del plano, coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada, así como también los conceptos de pendiente e inclinación de una recta en el plano cartesiano

1.1 Distancia entre dos puntos

Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.

Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1).

Deducción Analítica

Ejemplo:

La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

(1)

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema de Pitágoras.

Demostración

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = esta dada por:

(1)

En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta

Figura 1

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el puntoR, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

Pero: ;

y

Luego,

En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.

El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y P2 no afecta el valor de la distancia.

Ejercicios de variada aplicación.

1.2 Coordenadas del punto medio

El punto medio se define como el punto que se encuentra exactamente a mitad de camino entre dos puntos dados.

Deducción Analítica

En la figura se observa que el punto medio entre P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es el punto d

e coordenadas P(x, y), donde por semejanza de triángulos se Determina las coordenadas para el este punto. Entonces, diremos que si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son los extremos de un segmento comprendido entre los dos puntos, entonces las coordenadas del punto medio P(x, y) están dadas por:

Ejercicios combinados con distancia entre dos puntos

1.3 Pendiente e Inclinación de una recta

La pendiente de una línea recta es el grado de inclinación de la recta respecto al eje x del plano cartesiano.

Relación de la pendiente con la tangente del ángulo de inclinación

Deducción Analítica

El valor de la tangente no es sino el ángulo o grado de inclinación que tiene la recta A,sobre el eje x. A este ángulo de inclinación lo llamamos pendiente de la línea recta y se denota por la letra m.

Ángulo formado por dos rectas.

Sean l1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son q1 y q2respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos (fig. 4.14.), esto es: b1 = b2 = q1 – q2 y a1 = a2 = 1800 - b1.

Se define el ANGULO entrel1 y l2 como

el ángulo positivo obtenido al rotar la rectal2 hacia l1 .

En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por:

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