Problemas De Ecausiones

Función

Primera derivada.

Segunda derivada.

Igualamos la segunda derivada a cero.

Punto de inflexión.

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¿En qué valores del dominio la segunda derivada es cero?

Veamos:

Función.

Primera derivada.

Segunda derivada.

Igualamos la segunda derivada a cero.

Entonces en la segunda derivada es cero, pero si observamos la gráfica de la función nos podemos dar cuenta que antes de cero la función es cóncava hacia y después de cero la función es cóncava hacia , lo que indica que hay cambio de concavidad, por tanto es un punto de inflexión.

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Ahora, obtenemos los valores donde el dominio de la derivada es cero:

Función

Primera derivada

Segunda derivada

Igualamos la derivada a cero

y

Valores críticos

Entonces, y son los valores de donde podrían existir puntos de inflexión. Ahora, la segunda derivada de existe en todo los números reales por ser un polinomio.

• Analicemos el signo de la segunda derivada, para determinar si los puntos encontrados son puntos de inflexión en la gráfica.

Dividimos en 3 secciones o intervalos, entonces debemos determinar como se comporta la derivada en cada uno de estos intervalos:

Intervalo Valor seleccionado Valor de la segunda derivada Signo de la segunda derivada Conclusión

Positivo Cóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

Positivo Cóncava hacia

Observa que en el intervalo que se encuentra contenido el valor de 0, hay cambio de signo en la segunda derivada, entonces concluimos que es un punto de inflexión. Ahora, en el intervalo que esta contenido el signo de la segunda derivada cambia de negativa a positiva, entonces se concluye que en la gráfica también tiene un punto de inflexión.

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Si , ¿qué criterio utilizas para determinar un mínimo o un máximo en la gráfica de la función?

El criterio de la primera derivada.

El criterio de la segunda derivada.

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Determina los máximos o mínimos rela tivos de la función y traza la gráfica.

Solución:

Aplicamos el segundo criterio de la derivada, obteniendo la primera y segunda derivada de la función.

Ahora, factorizamos la primera derivada.

Factorizamos

Igualamos a cero para hallar los puntos críticos.

Evaluamos los puntos críticos en la segunda derivada.

Para Para

Entonces, el punto es un absoluto.

Entonces, el punto es un absoluto.

Por lo tanto, la gráfica de la función es:

6

Determina los máximos o mínimos relativos de la función y traza la gráfica.

Solución:

Aplicamos el segundo criterio de la derivada, obteniendo la primera y segunda derivada de la función.

Ahora, factorizamos la primera derivada.

Factorizamos

Igualamos a cero para hallar los puntos críticos.

Evaluamos los puntos críticos en la segunda derivada.

Para Para

Entonces, el punto es un absoluto.

Entonces, el punto es un absoluto.

Por lo tanto, la gráfica de la función es:

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