Series De Potencias

3.2 REPRESENTACION DE FUNCIONES POR MEDIO DE SERIES DE POTENCIAS

Las series de potencias son una herramienta muy útil en las matemáticas, ya que nos permiten representar algunas de las funciones más importantes por medio de una sumatoria y su comportamiento es similar al de un polinomio de la función que representa.

La representación de funciones por medio de series de potencias nos permite resolver algunos problemas relacionados con derivación o integración, bastantes complejos, en forma directa.

Dada una función f definida por una sumatoria

∑_(n=0)^∞▒〖a_n x^n 〗

Decimos que la serie de potencias representa a la función f y si c es un numero que esta en el intervalo de convergencia entonces f(c)se puede hallar encontrando la suma de la serie.

Iniciemos el trabajo de encontrar la representación de una función por medio de una sumatoria como sigue:

∑_(n=0)^∞▒x^n =1+x+x^2+x^3+⋯,

Donde su primer termino es a=1 y su razón de cambio r es x. Aplicando el criterio de la razón analicemos su intervalo de convergencia.

a_n= x^n

a_(n+1)= x^(n+1)

lim┬(n→∞)⁡|a_(n+1)/a_n |= lim┬(n→∞)⁡〖|x^(n+1)/x^n |= lim┬(n→∞)⁡〖|(x^n x)/x^n |= lim┬(n→∞)⁡〖|x|=|x|; |x|<〗 1〗 〗

Converge absolutamente. De donde-1<X< 1 por lo tanto el intervalo es (-1,1)

Analizando los puntos extremos tenemos:

Si x = 1 la serie original queda como

∑_(n=0)^∞▒1^n

La cual diverge. Si x= -1 la serie queda

∑_(n=0)^∞▒〖(-1)〗^n

La cual también diverge. Por lo tanto su intervalo de convergencia es el abierto (-1,1). Por otro lado sabemos que cuando una serie geométrica converge, su suma es s= a/(1-r). Igualando la función obtenida en la ultima expresión con la sumatoria, tenemos que la función se puede representar por la sumatoria.

S=a/(1-r)=1/(1-x)=∑_(n=0)^∞▒x^n en (-1,1)

Si en (1) sustituimos x por –x tenemos:

1/(1-(-x))=1/(1-x)=∑_(n=0)^∞▒〖(-x)〗^n en (-1,1)

Si en (1) sustituimos x por x^2 tenemos:

1/(1-x^2 )=∑_(n=0)^∞▒〖〖(x^2)〗^n=∑_(n=0)^∞▒〖(x^2n)〗〗 en (-1,1)

Si en (1) sustituimos x por (- x^3) tenemos:

1/(1-〖(-x〗^2))=1/(1+x^2 )=∑_(n=0)^∞▒〖〖(-x^2)〗^n=∑_(n=0)^∞▒〖〖(-1)〗^n x^2n 〗〗 en (-1,1)

De esto último podemos observar que de una serie de potencias, podemos obtener otras, las cuales tienen el mismo intervalo de convergencia y así representar otras funciones con igual dominio.

Teorema 3.2.1

Si una función f(x) se puede representar por medio de una sumatoria

∑_(n=0)^∞▒a_n x^n

Cuyo intervalo de convergencia es igual al dominio de la función, entonces:

La derivada de la función va a ser igual a la derivada de la sumatoria

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