Series Finitas

Aproximaciones polinomiales,sucesiones y series infinitas

1. Introducción

2. Justificación y Objetivo

3. Aproximaciones polinomiales mediante la formula de Taylor

4. Sucesiones

5. Series infinitas de términos positivos

6. Series infinitas de términos positivos y negativos

7. Series de potencias

8. Diferenciación e integración de series de potencias

9. Series de Taylor

10. Serie de potencias para logaritmos naturales y serie binomial

Introducción

El objetivo primordial de este tema es aproximar funciones mediante series de potencias. Sin embargo, antes del estudio de las series de potencias se prepara el terreno.

Mientras que los valores de funciones polinomiales pueden determinarse efectuando un numero finito de adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas, no pueden evaluarse tan fácilmente. En esta sección se mostrara que muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que el polinomio, en lugar de la función original, puede emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la aproximación polinomial es suficientemente pequeña.

Varios métodos pueden emplearse para aproximar una función dada mediante polinomios. Uno de los mas ampliamente utilizados hace uso de la formula de Taylor, llamada así en honor del matemático ingles brook Taylor (1685-1731). El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del teorema del valor medio, proporciona la formula de Taylor.

Justificación

Este es el segundo trabajo del curso de calculo diferencial e integral, en donde el cual aprenderemos como las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, forman parte importante dentro del calculo diferencial e integral, tal es así que este trabajo es parte de una evaluación y esta diseñado de tal manera dirigido a estudiantes del mismo nivel con una redacción sencilla y explicada del tema mismo.

Objetivo

Uno de los objetivos primordiales es aprender como funcionan las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, ya que es de gran importancia para poder así calcular las unciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas. También como mencionaba así darle una visión mas amplia al lector sobre este tema, llevando un lenguaje no tan extenso y mas centrado en lo practico y lo necesario para llevarse acabo este tipo de cálculos matemáticos, tanto en el calculo diferencial e integral, encontramos infinidad de temas que a veces no nos llaman la atención de practicar, en las aproximaciones polinomiales veremos lo sencillo que es hacer una aproximación por medo de teoremas.

1. Aproximaciones polinomiales mediante la formula de Taylor

Existen infinidad de métodos para aproximar una función dada mediante polinomios, unos de los mas importantes que se usan es la fórmula de Taylor.

El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del teorema del valor medio, proporciona la fórmula de Taylor.

Teorema 1

Sea ƒ una función tal que ƒ y sus primeras n derivadas son continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Además

, considere que ƒ (x) existe para toda x del intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número z en el intervalo abierto (a, b). Tal que

(1)

La ecuación (1) también se cumple si b < a; en tal caso [a, b] se reemplaza por [b, a], y (a, b) se sustituye por (b, a).

Observe que cuando n = 0, (1) se convierte en

Donde z esta entre a y b. esta es la conclusión del teorema del valor medio.

La demostración del teorema 1 se presentara mas adelante.

Si en (1) se reemplaza b por x, se obtiene la fórmula de Taylor:

(2)

Donde z esta entre a y x.

La condición en la que se cumple (2) es que ƒ y sus primeras n derivadas sean continuas en un intervalo cerrado que contenga a a y x, y la (n + 1 )-esima derivada de ƒ exista en todos los puntos del intervalo abierto correspondiente. La formula (2) puede escribirse como:

Continua….

(3)

Donde

(4)

Y

Donde z esta entre a y x (5)

Pn(x) se denomina polinomio de Taylor de n-ésimo grado de la función ƒ en el numero a, y Rn(x) se llama residuo. El termino Rn(x), dado en (5), se denomina forma de lagrange del residuo, llamada así en honor al matemático francés joseph l. lagrange (1736-1813).

El caso especial de la fórmula de Taylor que se obtiene al considerar a = 0 en (2) es

Donde z esta entre 0 y x. esta fórmula recibe el nombre de fórmula de maclaurin, en honor al matemático escocés colin maclaurin (1698-1746).

Sin embargo, la fórmula fue obtenida por Taylor y por otro matemático inglés, james stirling (1692-1770). El polinomio de maclaurin de n-esimo grado para una función ƒ, obtenido a partir de (4) con a = 0, es

(6)

De este modo, una función puede aproximarse por medio de un polinomio de Taylor en un número a o por un polinomio de maclaurin.

Ejemplos:

Ilustrativo 1

Se calculara el polinomio de maclaurin de n-esimo grado para la función exponencial natural.

Si ƒ(x) = , entonces todas las derivadas de ƒ en x son iguales a y las derivadas evaluadas en cero son 1. Por tanto, de (6),

Así, los primeros cuatro polinomios de maclaurion de la función exponencial natural son

Las figuras 1 a 4 muestran la grafica de ƒ(x) = junto con las graficas de P0(x), P1(x), P2(x) y P3(x), respectivamente, trazadas en el rectángulo de inspección de [-3, 3] por [0, 4].

En la figura 5 se muestran las gráficas de los cuatro polinomios de maclaurin y la grafica de

ƒ(x) = en el mismo sistema coordenado. Observe como los polinomios aproximan para valores de x cercarnos a cero, y note que conforme n se incrementa, la aproximación mejora. Las tablas 1 y 2 proporcionan los valores de , Pn(x) (cuando n es igual a 0, 1, 2 y 3) y - Pn(x) para x = 0.4 y x = 0.2, respectivamente. Observe que con estos dos valores de x, a medida que x esta mas cerca de 0, es mejor la aproximación para un Pn(x) especifico.

n e0.4 Pn(0.4) e0.4 – Pn(0.4)

0 1.4918 1 0.4918

1 1.4918 1.4 0.0918

2 1.4918 1.48 0.0118

3 1.4918 1.4907 0.0011

n e0.2 Pn(0.2) e0.2 – Pn(0.2)

0 1.2214 1 0.2214

1 1.2214 1.2 0.0214

2 1.2214 1.22 0.0014

3 1.2214 1.2213 0.0001

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