Definición de series finitas e infinitas

INTRODUCCIÓN

Bueno de este ensayo pretendemos exponer de manera breve y consistirá sobre la unidad IV que es la mencionada. Series, de la materia de Calculo Integral, también podremos.

Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica.

r + r 2 + r 3 + R 4 +... donde... indica que la serie continúa indefinidamente. Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros N términos. Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros números términos: Por lo general, estudiando la secuencia de sumas parciales podemos entender el comportamiento de la serie infinita entera. Dos de las cuestiones más importantes sobre una serie son.

¿Converge?

Si es así, ¿a dónde? Por ejemplo, es fácil ver que para r > 1, la serie geométrica S N ( r ) no converge a un número finito (es decir, diverge a infinito). Para ver esto, notemos que cada vez que aumentamos el número de términos en la serie S N ( r ) aumenta. Quizás un hecho más sorprendente e interesante es que para | r | < 1, S N ( r ) converge a un valor finito.

DEFINICIÓN DE SERIES FINITAS E INFINITAS

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos n donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir que en otras palabras mucho más sencillas de entender se dice que, i=1, 2,3....

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito; puede converger si para algún.

Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos la serie:

1+4+9+16+25

Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie se llama sucesión infinita.

El término general ó término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.

SERIE FINITA: Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.

La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

2, 4, 8, 16, 32, 64,....

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5

3, 6, 10, 12, 14, 20

Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita

ejemplo Sea f la función definida por f(x)= 2m; m" {1, 2, 3,4}.

f(1)= 2x1=2

f(2)= 2x2=4

f(3)= 2x3=6

f(4)= 2x4=8

(2,4,6,8)

F(x)= 2m; m" {1, 2, 3,4} es una serie finita donde m pertenece a cualquier número del intervalo [1, 4].

SERIE INFINITA: Se le llama serie infinita, a los elementos a k, k=, 1, 2,3,…, se le llama a los términos de la serie; an se denominó general. Se representa en forma compacta como k=1∞ak, 0 bien a k, por conveniencia.

Definición: Si {un} es una sucesión y Sn =u1 + u2,… un entonces {Sn} es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

n=1+∞un=u1 + u2 + u3,… +un +… Los números u1, u 2, u3… un… son términos de la serie infinita.

En las observaciones iníciales de este capítulo se indicó que la representación decimal del numero racional 13 es en la realidad, una serie infinita.

310 +310 2 +3103 +k=1∞310k.

De igual manera las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.

Son series de la forma S an (x - x0)n; los números reales a0, a1,...., an,... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an. xn.

Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.

Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros.

Realizar esto requiere extender la operación familiar de adición de un conjunto finito de números a la adición de una infinidad de números. Para llevar a cabo esto, se estudiara un proceso de límite en el que se puedan consideran todas las sucesiones, y en teorema.

Teorema

Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô.

Suponga que asociada a la sucesión.

U1, U2, U3,…, Un,…

Se tiene una “suma infinita” denotada por.

U1+ U2 + U3 +…+ Un+…

A partir de la sucesión.

U1, U1, U3,…, Un,…

Se forma una nueva sucesión (Sn) sumando sucesivamente elementos de (Un):

S1=U1

S2=U1+U2

S3=U1+U2+U3

S4=U1+U2´+U3+U

…

Sn=U1+U2+U3+U4+…+Un

L a sucesión (An) obtenida de esta manera a partir de la sucesión (Sn) es una secesión de sumas.

SERIES DE POTENCIA

Concepto de serie de potencia

En lo que sigue, con K nos referimos indistintamente a R o C. Dada una sucesión (an) n2N en K y un elemento z0 2 K, una serie de potencias en torno a z0 es la expresión simbólica 1X n=0 an(z − z0)n, con z 2 K. Para cada valor de z se tiene una serie numérica en K que puede o no ser convergente.

Como en el caso de las series numéricas, P1 n=0 an (z − z0)n representa indistintamente a la serie, como expresión simbólica, y también al valor de la suma, cuando la serie es convergente. Para z = z0, obviamente, siempre es convergente; y puede que no haya otro valor diferente de z para el que la serie converja.

Para series de potencias reales escribiremos ∑ an (x − x0) n.

Cuando analizamos la Serie Geométrica

Encontramos que esta converge a 1/(1-x) en el intervalo (-1, 1), es decir, si consideramos a la función

Su dominio será

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