TEMA ÁLGEBRA LINEAL

MATERIA: ÁLGEBRA LINEAL

TAREA: TEMA 1.1, 1.2, 1.3, 1.4,  1.5 y 1.6

MAESTRO: BRENDA EDITH MORALES FERNANDEZ

ALUMNO: ANGEL JARED USCANGA ANAYA

NÚMERO DE CONTROL: E18021345

Definición y origen de los números complejos

Los números imaginarios surgen cuando la cantidad √-1 apareció por primera vez en la escena matemática y a esta se le dio el nombre de “Unidad Imaginaria” y se definía como una de las soluciones de la ecuación x² + 1 = 0; Dentro de esta ecuación no se admiten números reales puesto que por razonamiento el cuadrado de todos los números reales es de valor positivo, por lo cual se procedió a colocar una letra que representa a un número complejo con la cantidad imaginaria concluyendo que i=√-1 y gracias a esta conclusión este es un número “imaginario” con derecho a existir en las matemáticas.

Los números imaginarios se definen desde el siglo I antes de Cristo, proveniente del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría y estos eran conocidos como el resultado de una imposible sección de una pirámide.

En las obras mano escritas de Herón de Alejandría de inicios del siglo I de nuestra era se define un cálculo que conduce a √81-144 que es la primera referencia escrita de un numero negativo, continuando con los manos escritos antiguos se encuentra otra referencia en la obra aritmética de Diofanto en la que puede verse el intento de cálculo de los lados de un triángulo rectángulo de P=12 y A=7, este cálculo llevo a la ecuación 336+24=172x, esto es una ecuación de segundo grado cuya soluciones contiene raíces de números negativos.[pic 1]

Paso mucho tiempo antes de encontrar alguna solución a este tipo de ecuaciones, siendo los hindúes quienes dan las primeras explicaciones relatando en el tratado de Mahavira alrededor del año 850 comenta en su tratado de los números negativos “Como en la naturaleza de las cosas una cantidad negativa no es un cuadrado entonces no puede tener una raíz cuadrada”, después de esta declaración Bhaskara indica EN 1150 que “El cuadrado de un número positivo o negativo, es positivo” argumentando que la raíz cuadrada de un numero positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo además no existe raíz cuadrada de un numero negativo ya que un número negativo no es un cuadrado.

Los números complejos comenzaron a ser utilizados cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia o Cardano en el siglo XVI.

La Licenciada María Inés Baragatti define como numero complejo a “el par ordenado de números reales” estos son dos números que se separan por una coma (“,”) de números reales y en general se define como z= (a, b).

Operaciones fundamentales con números complejos

Durante el siglo XVI Jerome Cardan publica su obra “THE GREAT ART” en la cual presenta un método de grado 3 y 4, esta obra representa el mayor tratado de números complejos.

En su obra Cardan presenta lo siguiente:

“Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyo producto sea 40, es evidente que esta cuestión es imposible” Sin embrago presenta una resolución con 2 ecuaciones que se deducen del enunciado:

[pic 2]

[pic 3]

Llegando a obtener como soluciones:

[pic 4]

Y efectuando las operaciones:[pic 5][pic 6]

[pic 7]

Luego de eso existieron pequeños aportes, pero con alta importancia por parte de Rafael Bombelli (30 años luego de Cardan) O Albert Girard, pero fue hasta Rene Descartes que se tiene la primera denominación para las raíces de números negativos, llamándolos números imaginarios.

Además, indico que las ecuaciones deben tener tantas raíces como sea su grado, aunque entre ellas existan raíces no reales, es decir:

Una ecuación lineal                                                Una solución[pic 8]

Una ecuación cuadrática                                                Dos soluciones[pic 9]

Una ecuación cubica                                                Tres soluciones[pic 10]

La siguiente referencia notable que encontraremos es un comunicado de Christian Huygens (1629 – 1695) a Gottfried Von Leibniz (1646 – 1716) en respuesta a un comunica acerca de la expresión:

[pic 11]

Respondiendo que lo que le escribía acerca de cantidades imaginarias que cuando son sumadas dan una cantidad real le era completamente nuevo y era incomprensible para él.

Estos dos matemáticos (Gottfried y Johann Bernoulli) utilizaron números imaginarios para la resolución de integrales y grandes matemáticos como Johann Lambert, Jean Alembert, Carl Gauss, Leonard Euler y Joseph Lagrange aplicándolos a distintas áreas del conocimiento como geometría hidráulica y otros. Siendo Euler el primero en utilizar la notación  para los números imaginarios.[pic 12]

La naturaleza de un número complejo contiene los números reales extendidos que resulten necesarios para resolver un problema que sería difícil de resolver utilizando sólo números reales.

Existe una gran variedad de operaciones que pueden realizarse con los números complejos como lo son la suma, resta, división y multiplicación constituyen las operaciones básicas que pueden realizarse con los números complejos.

SUMA

Para que se pueda realizar una suma de números complejos, se siguen las normas o reglas básicas de la aritmética sumando los números reales con los números reales y los números imaginarios con los números imaginarios

FORMULA

[pic 13]

RESTA

Al igual que en la suma, se opera con los números reales ordinarios

MULTIPLICACION

Para obtener el producto de dos números complejos, se multiplica cada término del primer paréntesis por todos los términos del segundo paréntesis, con lo que se obtienen todos los términos a reducir

FORMULA

[pic 14]

DIVISION

Para dividir números complejos en forma binominal se multiplica el numerador y el dominador por el conjugado del denominador y se realizan las operaciones correspondientes

[pic 15]

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