TEOREMA DE BAYES

Thomas Bayes, un clérigo del siglo XVIII, desarrolló el siguiente teorema, que fue conocido después de su muerte, para el cálculo de probabilidades condicionales:

Sea { A1, A2, ….Ai….An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y cuya unión es el total o sea 1, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P (B/Ai). Entonces la probabilidad P (Ai/B) viene dada por la expresión:

Dónde:

P(Ai) son las probabilidades a priori.

P(B / Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.

P(Ai / B) son las probabilidades a posteriori.

Esto se cumple siempre que

Este teorema es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad aunque sin embargo, ha existido mucha controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional también denominada objetivista o frecuencialista (6) sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten y defienden la la utilidad de las probabilidades subjetivas. El teorema, que ha resurgido con gran popularidad desde hace ya algunos años, puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. Este enfoque que propugna la estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia , lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento.

Supóngase una prueba diagnóstica, por ejemplo nivel de glucosa en sangre, en ayunas, para diagnosticar la diabetes. Se considera que la prueba es positiva si se encuentra un nivel por encima de un cierto valor, digamos 120 mg/l.

Para evaluar la prueba, para distintos puntos de corte, se somete a la misma a una serie de individuos diabéticos diagnosticados por otro procedimiento (el patrón de oro o "gold standar") y a una serie de individuos no diabéticos. Los resultados se pueden representar en una tabla de doble entrada.

Tabla. Resultado de la doble entrada

Si la prueba fuera perfecta b=c=0, desgraciadamente nunca ocurre. Se denomina falso-positivo (FP) al cociente c/t, y es una estimación de la probabilidad condicionada p(+|NE); se denomina falso-negativo (FN) al cociente b/u, y es una estimación de la probabilidad condicionada p(-|E). Estos dos valores cuantifican los dos errores que la prueba puede cometer y caracterizan a la misma. Simétricamente, los coeficientes que cuantifican los aciertos son la sensibilidad, p(+|E), y la especificidad p(-|NE).

Cuando la prueba se usa con fines diagnósticos (o de "screening") interesa

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