Tarea Algebra Lineal

Tarea 2

Algebra Lineal, MAT 1203

21 de Agosto de 2017

Fecha de Entrega: Hasta el jueves 31 de agosto a las 18:30

Nombre  Integrante 1: Diego Orpinas

Nombre Integrante 2: Diego Poblete        

Nombre Grupo: orpinaspoblete

Instrucciones

Para resolver los problemas planteados, cuando sea pertinente,  si  lo prefiere, Ud.  puede calcular la forma escalonada reducida de una matriz usando el comando  RowReduce[] de Wolfram-Alpha en  www.wolframalpha.com  o en Mathematica. Por ejemplo, ejecutando  RowReduce[ {{1,2,3},{4,5,6}}]  en la línea de comandos de WolframAlpha o en Mathematica, el sistema entrega la forma escalonada reducida de  .[pic 1]

Cuando ud. ocupe WolframAlpha o Mathematica para calcular la forma escalonada reducida de una matriz , ud debe incluir en la solución del problema la matriz  y su escalonada reducida indicando cómo la obtuvo. [pic 2][pic 3]

El Texto Guía del curso es "Introducción al Algebra Lineal y sus Aplicaciones" por David Lay, 4ta Edición, el cual está disponible en PDF en el sitio web de laboratorios bajo la pestaña "Documentos".

Para la resolución de los problemas del texto guía, para simplificar el proceso. se recomienda incluir el enunciado del problema en el documento Word con copy/paste desde el PDF.

   [pic 4]

Problemas

Problema 1) Resuelva los problemas del texto guía

1. Problema 13, sección 1.1

x1 - 3x3 = 8
2x1 + 2x2 + 9x3 = 7
x2 + 5x3 = -2

[pic 5]

x1 – 3x3 = 8              x1 = 5
x2 + 5x3 = -2         x2 = 3
x3 = -1                      x3 = -1[pic 6]

[pic 7]

Problema 20, sección 1.1

[pic 8]

Para que el sistema lineal pueda ser consistente, la h dentro de la matriz puede tomar cualquier número a excepción del -4, ya que se anularían las variables.

1. Problema  23, sección 1.1
   a) Verdadero
   b) Falso, ya que tiene 5 filas.
   c) Falso, depende si el sistema tiene una única o infinitas soluciones        
   d) Verdadero
   
2. Problema 16, sección 1.2
   
   a)  
   
   a) La matriz dada incluye una fila de la forma [0 ... 0 b], por lo tanto el sistema es inconsistente y no tiene solución
   
   b) La matriz dada no tiene fila de la forma [0 ... 0 b], por lo tanto el sistema es consistente. El sistema tiene cuatro variables, pero sólo tres posiciones de pivote para que exista una variable libre. Por lo tanto, la solución no es única
   [pic 9][pic 10]

Problema 30, sección 1.2

La siguiente matriz, Z, representa un sistema de dos ecuaciones en tres variables

[pic 11]

1. En este caso, el sistema es inconsistente porque según el teorema de la existencia y la unicidad, un sistema consisten no debe tener ninguna fila de la forma [0 0 ... 0 b]. Sin embargo, la segunda fila de matriz Z tiene una fila de tal forma. Por lo tanto, el sistema es inconsistente
   

Problema 12 sección 1.3

[pic 12]

1. 1 – 2x2 – 6x3 = 11
         3x2 + 7x3 = -5          
   x1 – 2x2 + 5x3 = 9[pic 13]

Por lo tanto b es una combinación lineal de a1, a2, a3.

Problema 15 sección 1.3

[pic 14]

1. h – 3 = 0  
   [pic 15]
2. Problema 25  sección 1.3
   
   a) No, hay tres vectores
   b) Sí, infinitos vectores
   c)
   [pic 16]
3. Problema 15, sección 1.4
   
   Sean A=
   [pic 17]

[pic 18]

La ecuación Ax = b es inconsistente al momento de operar 3b1+ b2, ya que las variables (por dar un ejemplo x e y) quedan en 0 y el resultado es supuestamente b2. En cambio el conjunto de vectores b para los cuales la ecuación es consistente, sería una recta que pasa por el origen [el conjunto de todos los puntos (b1, b2) que satisfacen b2 = -3b1].

Problema 17, sección 1.4

[pic 19]

1. La fila 1, la fila 2 y la fila 3 contienen posiciones de pivote, estos están en su forma escalonada reducida y por lo tanto podemos identificar las posiciones del pivote. Están claramente en la fila 1, 2 y 3.
   Ax = b no tiene una solución para cada b en R4, ya que una matriz  podría tener una solución para cada b si y sólo si cada fila contiene una posición de pivote (la fila 4 no contiene una posición de pivote).
   

Problema 18, sección 1.4

[pic 20]

1. No todos los vectores pueden en R4 pueden ser escritos como una combinación lineal de las columnas de la matriz B, ya que la última fila del coeficiente tiene solamente ceros, lo que significa que una de las filas del argumento matriz tiene la forma [0 ... 0 b]
   
2. Problema 23, partes c) e) f)  sección 1.4
   
   c) Falso, depende si es o no una matriz aumentada
   e) Verdadero, si A es m x n pero cada en Rm vectores, la ecuación Ax = b tiene solución.
   f) Verdadero
3. Problema 32, sección 1.4
   
   Cuando se ponen esos vectores en la matriz, esta tendrá 3 columnas. Esto significa que tienen como máximo 3 columnas de pivotes, por lo que pueden abarcar R3 pero no R4. Lo mismo para n vectores en Rm. La matriz puede tener como máximo n columnas de pivotes, por lo que puede abarcar Rn pero no Rm (porque n < m)
   
   
4. Problema 34 sección 1.4
   
   w = v1 + v2                           v1 = Av1,     v2 = Av2
     = Av1 + Av2
      = A (v1 + v2)
   
   El vector x = v1 + v2 es solución de Ax = w
   [pic 21][pic 22]
5. Problema 5 sección 1.5
   
   2x1 + 2x2 + 4x3 = 0
   -4x1 - 4x2 - 8x3 = 0
          - 3x2 - 3x3 = 0
   
          x1 = -x3
                                                                                                                                    x2 = -x3
   
                                                   x1    =    - x3
   x en su forma paramétrica =    x2    =  - x3    x3
                                                                             x3     =     x3
   
   [pic 23][pic 24][pic 25]
6. Problema 24, sección 1.5
   a) Falso, la solución trivial es una solución de un sistema homogéneo
   b) Falso, una solución no trivial de Ax = 0 es cualquier x distinto que satisfaga la ecuación.
   c) Verdadero, es suma de vectores
   d) Verdadero, si el vector nulo es solución: Ax = b = A*0 = 0
   e) Verdadero
   

Problema 25 a), sección 1.5

a)                          [pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

Problema 29, sección 1.5

4x4 con 3 pivotes, Ax = 0 tiene 3 variables y 1 una de ellas es libre
[pic 30]

1. Problema 15, sección 1.6
   
   

1. Sean .  [pic 31]

1. Demuestre que existe por lo menos un vector  para el que la ecuación  es inconsistente.
   [pic 32][pic 33]
2. Describa el conjunto de todos los vectores  para los cuales la ecuación  no tiene solución.
   [pic 34][pic 35]

Problema 3)  Sean  Determine los valores de   para los cuales el sistema de ecuaciones  no tiene solución, tiene una única solución, tiene infinitas soluciones:
[pic 36][pic 37][pic 38]

1. Sea  una matriz con columnas  tales que .  
   [pic 39][pic 40][pic 41]

1. Determine infinitas soluciones para la ecuación homogénea  (denota al vector nulo)
   [pic 42][pic 43]
2. Determine infinitas soluciones para el sistema  [pic 44]

1. Sean . Demuestre que  [pic 45][pic 46]

(Ayuda: Para demostrar que dos conjuntos  son iguales demuestre que [pic 47]

1.  (es decir  [pic 48][pic 49]
2.  (es decir [pic 50][pic 51]

          Entonces por i. , ii.,   se tiene que  )[pic 52]

...