Tema: Juego monopolio simplificado.

Juego de monopolio simplificado

La variable aleatoria representa la probabilidad de finalizar en la casilla n en el n-ésimo turno (Salas, 2013).[pic 1]

Partiendo de la definición de la variable aleatoria se determina que la probabilidad de colocarse al final de cada turno en las casillas de roll again, go to start y advance one space es 0 debido a que no es posible permanecer en estas casillas.  

Para construir la matriz se parte de la casilla start y se continúa en sentido de las agujas del reloj por todas las demás casillas, por tanto, cada vector fila que conforma la matriz de transición está compuesto de las probabilidades de ir de una casilla determinada a cualquier otra del tablero.

Tomando en consideración lo anterior y utilizando la lógica se construyó la siguiente matriz de transición perteneciente al monopolio simplificado:

Distribución estacionaria de una cadena de Markov

Se dice que una Cadena de Markov en tiempo discreto admite una distribución estacionaria en la medida que las probabilidades de largo plazo existen y es independiente de la distribución inicial (f0). Para que exista una distribución estacionaria la matriz de transición debe ser irreducible y sus estados deben ser recurrentes positivos aperiódicos (Operaciones, s.f.).  

Si existe una probabilidad no nula que comenzando en un estado i se pueda llegar a un estado j al cabo de un cierto número de etapas (digamos n) se afirma que el estado j es accesible desde el estado i. Una Cadena de Markov donde todos sus estados son accesibles entre sí y por tanto se comunican se dice que es irreducible, es decir, que existe una única clase de estados (Operaciones, s.f.).

Una definición adicional es la periodicidad de un estado. Un estado se dice que tiene periodo d, para el mayor valor entero de d que cumpla:

[pic 2]

Sólo para valores de n pertenecientes al conjunto {d, 2d, 3d,...}. Si d=1 decimos que el estado es aperiódico. En otras palabras, un estado es periódico si, partiendo de ese estado, sólo es posible volver a él en un número de etapas que sea múltiplo de un cierto número entero mayor que uno (Operaciones, s.f.).

Un estado es recurrente en la medida que comenzando en él se tenga la certeza de volver en algún momento del tiempo sobre sí mismo. Si tenemos una Cadena de Markov que tiene una cantidad finita de estados e identificamos un estado recurrente, este será recurrente positivo (Operaciones, s.f.).

Para obtener la distribución estacionaria que nos dará las probabilidades de caer en cada casilla a lo largo del juego se debe de seguir el siguiente procedimiento:

Se tomarán las primeras 7 columnas de la matriz P y se restará 1 de la diagonal y se sustituirá la última columna por una columna que consta únicamente de unos, por tanto se obtiene (Salas, 2013):

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