Teoria De Conjuntos

Introducción

El trabajo que presentamos en este artículo forma parte del proyecto: “¿Qué matemática

vive hoy en las aulas de EGB3? Una aproximación a la complejidad del aula”.

El tema conjuntos numéricos constituye una parte importante de los contenidos

por aprender en los primeros años de la escuela media1 y con frecuencia

se asume que su aprendizaje puede considerarse como concluido después de

los dos o tres primeros años de este nivel.

Sin embargo, en los alumnos puede detectarse —incluso varios años después—

que muchas de las dificultades a las que se enfrentaron durante su estudio,

debido en particular a la complejidad del propio conocimiento, no siempre han

podido ser superadas.

Los conocimientos iniciales son necesariamente provisorios, incompletos e

incluso erróneos, por tanto, su tratamiento posterior es ineludible.

Nos referimos, por ejemplo, a la confusión entre número y representación

—en particular entre número decimal y representación decimal de un número—,

a la falta de discusión sobre la naturaleza de los números, a la falta de relación

entre los conjuntos numéricos, a la ausencia de identificación del conjunto de

referencia en el cual se desarrolla la actividad matemática, etcétera.

El artículo está organizado en tres apartados: “Acerca de la construcción de

los conjuntos numéricos”; “Análisis de la tarea de pertenencia de un número

a un conjunto” y “Problematización del contenido Conjuntos numéricos”.

Acerca de la construcción de los conjuntos numéricos

Los conocimientos que se poseen hoy sobre los números reales y sobre los

conjuntos numéricos incluidos en este último son la consecuencia de un largo,

1 La escuela media comprende a los alumnos de 12 a 17 años.

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Educación Matem ática, vol. 23, núm. 1, abril de 2011 125

Irma Elena Saiz, Edith Gorostegui y Diego Vilotta

paciente y laborioso trabajo de matemáticos de muy distintas civilizaciones. A lo

largo de más de 20 siglos se fueron construyendo muy lentamente conceptos

que hoy día pretendemos con frecuencia que los jóvenes alumnos aprendan en

un poco más de un cuatrimestre escolar. Basta citar los números naturales, que

tan “naturalmente” aparecen desde el principio de la escolaridad y cuya formalización

como conjunto numérico, sin embargo, fue la última en lograrse con la

axiomatización realizada por Peano a fines del siglo xix, incluso después de

la de los números complejos y negativos.

A partir de su invención para resolver problemas prácticos, los matemáticos

lograron, apenas 2 500 años después de su aparición, una definición de número

y de conjunto numérico, basada totalmente en fundamentos lógicos, evitando la

intuición y rechazando los recursos a la percepción.

Siguiendo la exposición de González, Iriarte y otros (1990)2 en el siglo xix es

cuando la matemática dio un formidable salto hacia su liberación de lo concreto.

Tal como lo señalaba Hermann Hankel (1987)3 en su libro Teoría del sistema

de los números complejos, publicado en 1867: “La condición para construir una

aritmética universal es, por tanto, la de una matemática puramente intelectual,

separada de todo tipo de percepciones sensibles”.

“Al igual que otros matemáticos de su época estaba convencido de que las

matemáticas son una creación humana y, en consecuencia, sus conceptos no

se deducen de hechos empíricos ni vienen impuestos desde afuera, sino que

son construcciones intelectuales y, como tales, no han sido descubiertas sino

inventadas”.4

Hankel no buscó la justificación de la existencia de los números en situaciones

reales que “expliquen” su comportamiento, sino en las leyes formales, concretamente,

en el “principio de permanencia” que había sido introducido por George

Peacock algunos años antes, a fin de fundamentar el álgebra y justificar las

operaciones con expresiones literales.

El principio de permanencia afirma que todas las reglas que se verifican al

operar con los números naturales —conmutativa y asociativa de la multiplicación

y de la suma y distributiva de la multiplicación respecto de la suma— siguen verificándose

para todos los demás números u objetos representados por las letras.

Así, la importancia del significado

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