TEORÍA DE CONJUNTO

TEORÍA DE CONJUNTOS, SU ALGEBRA, EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES, TEORÍA DE LA ADICIÓN.

Por un conjunto se entiende una colección bien definida de objetos distintos.

Un objeto en un conjunto se llama elemento del conjunto

Un conjunto está bien definido cuando es posible determinar si cualquier objeto particular pertenece o no a el.

Notar también que los objetos en el conjunto deben ser distintos.

Así ningún objeto puede ser registrado más de una vez.

Se emplean las letras mayúsculas para designar conjuntos A, B, C…

Se emplean las letras minúsculas para designar elementos de un conjunto, a menos que se indique otra cosa a, b, c…

Por último el orden en que los objetos son registrados es indiferente.

Para indicar a los elementos de un conjunto se utilizan llaves, {a, b, c, d}

Ejercicio 1. Sea el conjunto de las vocales = {a, e, i, o, u}. Conjunto ____________________.

Ejercicio 2. La colección de todas las personas de gran estatura no es un conjunto

_______________ pues el atributo “de gran estatura” no esta Definido con precisión.

Ejercicio 3. El conjunto de los números de un digito {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, Conjunto _______________.

Ejercicio 4. El conjunto de todas las letras del alfabeto Castellano A = {a, b, c, ch, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}. Conjunto ___________________________.

Ejercicio 5. El conjunto de las letras del alfabeto ingles. Conjunto ______________________.

Ejercicio 6. El conjunto de los números naturales. Conjunto _________________________.

Ejercicio 7. El conjunto de todas las personas de la tierra. A = {Todas las personas de la tierra}. Conjunto _________________________.

Ejercicio 8. El conjunto de los estudiantes inscritos en una Universidad. A = {Estudiantes de la Universidad}. Conjunto ____________________.

Ejercicio 9. El conjunto de los números pares. A = {Números pares}. Conjunto ____________.

Ejercicio 10. El conjunto de los países de América. A = {Países de América}. Conjunto _________________________.

Ejercicio 11. El conjunto de los mamíferos. A = {Mamíferos}. Conjunto ___________________.

Ejercicio 12. El conjunto de los números impares. A = {Números impares}. Conjunto ___________________.

Hay dos maneras de especificar un conjunto, se pueden enumerar sus elementos, separándolos por comas y encerrándolos entre llaves, o se puede describir la característica o características necesarias que un objeto ha de tener para ser un elemento del conjunto.

La primera se llama forma Tabular de un Conjunto.

Ejemplo. El conjunto de los números dígitos se puede expresar como:

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Tabular de un Conjunto

La segunda se llama Constructiva o Descriptiva de un conjunto.

Ejemplo. El conjunto de los números dígitos se puede expresar como:

• D = {x|x es un dígito} Constructiva o Descriptiva.

Lo cual debe leerse “D es el conjunto de los elementos x tales que x es un número dígito”. Notar que la barra Vertical, |, en la notación constructiva se debe traducir como “Tales que” ó “Tal que“; cualquier otro símbolo conveniente puede ser usado en lugar de la variable muda.

RELACIÓN DE PERTENENCIA

Si un objeto x es un elemento de un conjunto A, es decir, si A contiene a x como uno de sus elementos, se escribe x A que se puede leer también como “x pertenece a A” ó como “x esta en A” ó como “x es elemento de A”.

Si por el contrario un objeto x no es elemento de un conjunto A, es decir, si A no contiene a x entre sus elementos se escribe x A.

Ejemplo. Si A es el conjunto de los números pares 2 A 3 A.

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Si los elementos de dos conjuntos están asociados en tal forma que cada elemento de cada conjunto es relacionado con exactamente un elemento del otro, entonces se dice que sus elementos están en una correspondencia uno a uno. Se dice que los elementos son finitos si tienen fin.

Definición. Un conjunto es finito si, y sólo si, sus elementos pueden ser puestos en una correspondencia uno a uno con los k-primeros números naturales o aquellos que tienen un número determinado de elementos. Un conjunto que no es finito se dice que es infinito.

Ejemplo. El conjunto A = {a, e, i, o, u} es finito porque sus elementos pueden ponerse en una correspondencia uno a uno con los cinco primeros números naturales, es decir,

a 1

e 2

i 3

o 4

u 5.

Ejercicio 1. El conjunto formado por los días de la semana; también es ____________.

Ejercicio 2. El conjunto, r = {2, 4, 10, 20,…….,}, de los números pares, es ___________.

Si A es un conjunto finito, entonces el número de elementos de A se denota por el símbolo n(A) y algunas veces se le llama la cardinalidad del conjunto A.

Ejemplo. Si S es el conjunto de los días de la semana entonces n(S) = 7

Ejercicio 1. Si S es el conjunto de los días de las vocales n(S) =___

Ejercicio 2. Si S es el conjunto de los días de las letras del alfabeto n(S) =___

CONJUNTO VACIÓ

Un conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vació (o conjunto nulo), y se denota con el símbolo ø

Ejemplo. Si A es el conjunto de personas vivientes mayores de 200 años, entonces A es el conjunto vació según las estadísticas conocidas, muy pocas personas alcanzan los 100 años.

Ejercicio 1. Sea B el conjunto de los animales mamíferos que nacen del huevo.

CONJUNTO UNIVERSAL

Definición. Es el conjunto, al cual pertenecen los elementos de todos los demás conjuntos en la discusión y se denota con la letra mayúscula

Ejemplo. En los estudios sobre población humana, el conjunto universal es el conjunto de todas las personas del mundo.

Ejercicio 1. Los días de la semana, el conjunto universal es:

__________________________________________________________________________________________

CONJUNTOS IGUALES

Definición. Dos conjuntos A y B son iguales si, y solo si cada elemento de A es un elemento de B y viceversa.

Es decir dos conjuntos A y B son iguales si y solo si, tienen los mismos elementos. Se escribe A = B, para denotar que A y B son iguales. Se escribe A B para indicar que A y B no son iguales.

Ejemplo. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {5, 4, 3, 2, 1}, entonces A y B son iguales

Ejercicio. Sean E = {2, 4, 6, 8, 10} y F = {10, 2, 8, 6, 4} ______________________________________________

DIAGRAMA DE

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