Teoría De Conjuntos

3. Teoría de Conjuntos Clásicos

3.1 Función de Pertenencia

3.2 Operaciones entre Conjuntos

Teoría de Conjuntos Clásicos

Un conjunto clásico es una colección de objetos de cualquier tipo. Lo que se denomina teoría de conjuntos fue propuesta por Georg Cantor (1845-1918), un matemático alemán. En la teoría de conjuntos, el conjunto y el elemento son primitivos. No están definidos en términos de otros conceptos. Sea A un conjunto, "x ∈ A" significa que x es un elemento en el conjunto A y "x ∉ A" significa que x no pertenece al conjunto A. El conjunto A está especificado totalmente por los elementos que contiene. Por ejemplo, no hay diferencia entre un conjunto que consta de los elementos 2, 3, 5 y 7 de un conjunto de todos los números primos menores de 11.

Sea X un universo de discurso del cual el conjunto A es un subconjunto, esto es

(1)

En la teoría clásica de conjuntos, cualquier elemento x perteneciente a X, pertenece o no al subconjunto A de manera clara e inequívoca, sin que exista ninguna otra posibilidad al margen de estas dos.

La pertenencia o no de un elemento arbitrario x a un subconjunto A viene dada en la mayoría de los casos, por la verificación o no de un predicado que caracteriza a A y da lugar a una bipartición del universo de discursoX.

3.1 Función de Pertenencia

El concepto de pertenencia o no de un elemento a un conjunto A puede expresarse numéricamente mediante la función de pertenencia, también llamada a veces función característica. Esta función asigna a cada elemento x del universo de discurso un dígito binario (1 ó 0) según x pertenezca o no al conjunto A

(2)

cualquier conjunto A ⊂ X se puede definir por los pares que forman cada elemento x del universo y su función de pertenencia, expresándose de a la siguiente forma:

3.2 Operaciones entre Conjuntos

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B incluidos en Xes posible definir nuevos conjuntos a partir de ellos o, lo que es lo mismo, es posible operar con ellos. A continuación se describen las operaciones básicas entre conjuntos:

• Intersección: Se denota por A ∩ B y se define como el conjunto formado por aquellos elementos de X que pertenecen a A y B simultáneamente:

(4)

• Unión: Es el conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen a A, o a B, o bien a ambos simultáneamente. Se denota por A∪B

(5)

• Complemento: El complemento de A se denota por Ā, y está formado por todos los elementos de Xque no pertencen a A

(6)

(7)

Las tres operaciones se muestran en la tabla.

Tabla 1: Operaciones entre conjuntos clásicos

Un conjunto clásico es una colección de elementos. Por ejemplo, puede ser el conjunto de elementos que verifican un predicado nítido. Dado un subconjunto clásico A de X, se le puede asociar su función característica.

φ A: X → {0,1}, dada por

φ A(x) = {

1, si x pertenece A

0, si x no pertenece A

es decir, φ A(x) = 1 si el grado en que x pertenece a A es 1 y φ A(x) = 0, si el grado en que x pertenece a A es 0.

Ejemplo

Sea el conjunto de estudiantes {Lucía, Óscar, Marcos, Roberto, Marta, Almudena, Aurora, Pedro}, el predicado P = "no ser de Madrid" y la siguiente tabla en donde se recogen las ciudades de origen de cada uno de ellos:

Nombre Ciudad de origen

Lucía Segovia

Óscar Móstoles-Madrid

Marcos Leganés-Madrid

Roberto Córdoba

Marta Ciudad Real

Almudena Madrid

Aurora Lugo

Pedro Alcobendas-Madrid

Expresamos el subconjunto de los estudiantes que provienen de otras ciudades de la siguiente forma:

= {Lucía, Roberto, Marta, Aurora}

La función de pertenencia de P o función característica tendrá los siguientes valores:

µP(Lucía) = 1; µP(Óscar) = 0;

µP(Marcos) = 0; µP(Roberto) = 1;

µP(Marta) = 1; µP(Almudena) = 0;

µP(Aurora) = 1; µP(Pedro) = 0;

3. Funciones de pertenencia

La función de pertenencia de un conjunto nos indica el grado en que cada elemento de un universo dado, pertenece a dicho conjunto. Es decir, la función de pertenencia de un conjunto A sobre un universo X será de la forma: µA:X → [0,1], donde µA (x) = r si r es el grado en que x pertenece a A.

Si el conjunto es nítido, su función de pertenencia (función característica) tomará los valores en {0,1}, mientras que si es borroso, los tomará en el intervalo [0,1]. Si µA(x) = 0 el elemento no pertenece al conjunto, si µA(x) = 1 el elemento sí pertenece totalmente al conjunto.

Las funciones de pertenencia son una forma de representar gráficamente un conjunto borroso sobre un universo.

La función característica del conjunto de los elementos que verifican un predicado clásico está perfectamente determinada. No ocurre lo mismo cuando se intenta obtener la función de pertenencia de un conjunto formado por los elementos que verifican un predicado borroso. Dicha función dependerá del contexto (o universo) en el que se trabaje, del experto, del usuario, de la aplicación a construir, etc.

A la hora de determinar una función de pertenencia, normalmente se eligen funciones sencillas, para que los cálculos no sean complicados. En particular, en aplicaciones en distintos entornos, son muy utilizadas las triangulares y las trapezoidales:

• Función Triangular

Definida mediante el límite inferior a, el superior b y el valor modal m, tal que a<m<b. La función no tiene porqué ser simétrica.

• Función Trapezoidal

Definida por sus límites inferior a, superior d, y los límites de soporte inferior b y superior c, tal que a<b<c<d.

En este caso, si los valores de b y c son iguales, se obtiene una función triangular.

Casos especiales de estas funciones trapezoidales son aquéllas en las que algunos parámetros toman valores no finitos:

o Funciones Trapezoidales con parámetros a = b = - ∞

o Funciones Trapezoidales que tienen los parámetros c = d = + ∞

o Puede dibujar funciones trapezoidales con diferentes parámetros.

Además

...