Teoria De Juegos Mxn Ejercicios Resueltos

1) Existen 2 partidos políticos UNE (A) y PATRIOTA (B), cada uno tiene restringido anunciarse por algún medio ninguno puede utilizar el medio que utilicé el otro. Dependiendo del ingenio y la intensidad de la campaña de publicidad cada uno puede capturar una porción de población de la campaña. La siguiente matriz muestra los porcentajes de captación de cada partido.

B

A X1 X2

2 4

3 2

4 1

-2 4

Como el valor de maximin= 2 >=0, la estrategia optima del partido B se obtiene resolviendo el siguiente problema de programación lineal.

MAXZ=X1+X2

S.A.

2X1+4X2 <=1

3X1+2X2 <=1

4X1+1X2 <=1

-2X1+4X2 <=1

X1,X2>=0

Resolviendo por simplex.

Z=0.3571

X1= 0.2143/0.3571= 0.60 valor de juego= 1/z = 2.8

X2=0.1429/0.3571=0.40

La estrategia optima de partido patriota es:

(0.6 y 0.40)

Para el partido UNE su estrategia óptima resulta al resolver el dual:

(0.40 , 0 , 0.6 ,0).

2) El FC Barcelona tiene tres diferentes equipos, esta el cuadro titular (A1), el cuadro de suplentes (A2) y el de la Masía (A3). Mientras que el Real Madrid también tiene tres equipos distintos, está el cuadro de titular (B1), el de suplentes (B2) y el Real Madrid Castilla (B3). Se les invitó a participar en una copa asiática para su pretemporada pero ninguno de los dos conoce cual será el cuadro que llevará el otro. Se maneja una probabilidad de victoria del FC Barcelona con sus diferentes cuadros más o menos conocida por sus participaciones anteriores y se expresa en la siguiente Matriz.

A/B B1 B2 B3

A1 0.8 0.2 0.4

A2 0.4 0.5 0.6

A3 0.1 0.7 0.3

Debemos encontrar la frecuencia con la cual los clubes deben presentar cada uno de los cuadros en los encuentros entre sí para acumular el mayor número promedio máximo de victorias.

A/B B1 B2 B3

A1 8 2 4

A2 4 5 6

A3 1 7 3

Las condiciones:

8ξ1 + 4ξ2 + ξ3 – Z1 = 4

2ξ1 + 5ξ2 + 7ξ3 – Z2 = 1

1ξ1 + 7ξ2 + 3ξ3 – Z3 = 1

Y la condición del mínimo:

F= min= X1 + X2 + X3

Comprobamos si son útiles las tres estrategias del adversario. En calidad de hipótesis al principio supondremos que las variables ficticias Z1, Z2, Z3 son iguales a cero.

ξ1 = (10/136) + (27/136) Z1 + (6/136) Z2 + (23/136) Z3

ξ2 = (12/136) + (22/136) Z1 + (20/136) Z2 + (54/136) Z3

ξ3 = (8/136) + (8/136) Z1 + (32/136) Z2 + (32/136) Z3

De donde:

136F = 30 + 13 Z1 + 18 Z2 -51 Z3

Anteriormente se muestra que el aumento de las variables Z1 y Z2 con relación a su supuesto valor cero solamente puede hacer aumentar a F, mientras que el aumento de Z3 puede hacer disminuir a F. No obstante, hay que realizar con prudencia el aumento de Z3 para que las magnitudes X1, X2, X3, que dependen de Z3, no se hagan negativas.

Por eso pondremos en las igualdades las magnitudes Z1 y Z2 igual a cero y aumentaremos la magnitud Z3 hasta el límite admisible (hasta que alguna de las magnitudes X1, X2, X3 se convierta en cero).

En la segunda igualdad observamos que con el aumento de Z3 la magnitud X3 está exenta de peligro, con eso ella solamente aumentará. En lo que se refiere a las magnitudes X1, X2, aquí es admisible el aumento de Z3 sólo hasta cierto límite.

La magnitud X1 se convierte en cero con Z3 = 10/23; La magnitud X3 se convierte en cero antes, ya con

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