Torsion no circular

TORSION DE ELEMENTOS NO CIRCULARES

El primer análisis correcto del efecto de la torsión en barras prismáticas de sección transversal no circular fue presentado por Saint Venant en 1855. Los resultados del estudio de Saint Venant indican que, en general, con excepción de  los miembros con secciones transversales circulares, toda sección se alabeará y por lo tanto no permanecerá plana cuando la barra se tuerza.

El tratamiento matemático de este tipo de problema está más allá del alcance de este texto, sin embargo la aplicación de las fórmulas obtenidas es de mucha utilidad practica para el cálculo de los valores máximos de esfuerzos y ángulos de torsión; por lo que indicaremos resultados obtenidos de la teoría matemática de la elasticidad para algunas barras rectas con sección no circular.

                                        Figura 4.9

Para una barra cuadrada sometida a torsión, considerando un razonamiento similar al que se hizo para barras circulares, podría demostrarse que las diagonales de la sección  de la barra y las líneas que unen los puntos medios de los lados permanecen rectos. Sin embargo debido a la simetría axial de la barra, cualquier otra línea de la sección cambia de forma cuando la barra es torsionada y la sección transversal misma se saldrá de su propio plano. Concluimos entonces que las secciones no circulares se alabean cuando soportan cargas de torsión. Por consiguiente las deformaciones por cortante no varían linealmente a partir del eje central.

En particular, en un elemento cúbico pequeño localizado en una esquina de la sección transversal de una barra cuadrada sometida a torsión como el que se indica en la figura 4.10; puesto que la cara del elemento perpendicular al eje Y es parte de la superficie libre de la barra, todos los esfuerzos en dicha cara deben ser nulos. Así, refiriéndonos al cubo separado escribimos:

[pic 1]

Por lo tanto, no hay esfuerzos cortantes en las esquinas de la sección transversal de la barra. Esto se verifica fácilmente torciendo un modelo de caucho. Se observa que no ocurren esfuerzos a lo largo de las aristas de la barra en tanto que las mayores deformaciones y; por consiguiente los grandes esfuerzos, ocurren a lo largo de la línea central de cada una de las caras de la barra.

Figura 4.10

Presentamos a continuación, resultados obtenidos de la teoría matemática de la elasticidad para barras rectas con sección rectangular uniforme .

Designando con L la longitud de la barra; y con a y b respectivamente el lado más ancho y el más angosto de la sección transversal y por T el momento de torsión aplicado a la barra, encontramos que el máximo esfuerzo cortante ocurre a lo largo de la línea central de la cara mas ancha de la barra y está dado por la fórmula:

        [pic 2]      (4.11)     y el ángulo de torsión, por:     [pic 3]        (4.12)

Los coeficientes C1 y C2 dependen únicamente de la razón a/b y se indican en la Tabla 4.1. Las ecuaciones 4.11 y 4.12 son válidas únicamente en el intervalo elástico.

TABLA 4.1  COEFICIENTES PARA

BARRAS RECTANGULARES A TORSION

[pic 4]

ANALOGIA DE LA MEMBRANA

Una membrana elástica homogénea unida a un marco rígido del mismo contorno que la pieza de análisis solicitada a torsión; y sometida a una presión uniforme interna constituye un análogo de la barra a torsión. Es decir, la determinación de la deformación de la membrana depende de la solución de la misma ecuación diferencial parcial que la determinación de los esfuerzos cortantes en la barra. Así refiriéndonos a la figura 4.11, si Q es un punto de la sección transversal de la barra, y Q’ el punto correspondiente de la membrana; el esfuerzo cortante τ en Q tendrá la misma dirección que la tangente horizontal a la membrana en Q’ y su magnitud será proporcional a la máxima pendiente de la membrana en Q’ (esta es la pendiente medida en una dirección perpendicular a la tangente horizontal en Q’).  Además el momento de torsión aplicado será proporcional al volumen entre la membrana y el plano del marco fijo.

[pic 5]

En el caso de la membrana de la figura 4.9, que está unida a un marco rectangular, la mayor de las pendientes máximas ocurre en el punto medio N’ del lado mayor del marco. Así verificamos que el máximo esfuerzo cortante en una barra de sección rectangular ocurrirá en el punto medio N del lado mas largo de la sección.

                                Figura 4.11.

La analogía de la membrana puede utilizarse con igual efectividad para visualizar los esfuerzos cortantes en cualquier barra recta con sección uniforme no circular. A continuación se indican resultados correspondientes a otras formas de sección de uso práctico.

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