Trabajo Calculo Integral

DESARROLLO

Ejercicio 1

∫▒〖(x^5+3x-2)/x^3 dx= ∫▒x^5/x^3 〗+ 3x/x^3 - 2/x^3 dx= ∫▒〖x^2+ 3/x^2 - 2/x^(3 ) dx= ∫▒〖x^2+ ∫▒〖〖3x〗^(-2 ) dx∫▒〖x^(2 ) dx-∫▒〖〖2x〗^(-3) dx= x^3/3〗〗〗〗〗 +〖3x〗^(-1)/(-1)- 〖2x〗^(-2)/(-2)= x^3/3-3/x+ 1/x^2

Ejercicio 2

∫▒〖(sin⁡〖(x)+3 sec^2 (X)) dx= ∫▒sin⁡〖x dx+∫▒〖3sec^2 x dx=-cos⁡〖+3 tanx+c〗 〗〗 〗 〗

Ejercicio 3

∫▒〖(√t-t+t^3)/∛t dt= ∫▒〖√(t )/∛t 〗〗-t/(∛t )+t^3/(∛(t ) ) dt =

∫▒█(T^(1/2).T^(1/3) Dt.∫▒〖t^(3 ) t^(-1/3) ∫▒〖t^(1/6) dt-∫▒t^(2/(3 ) ) 〗 dt+∫▒t^(8/3) dt=t^(7/6)/(7/6)〗-t^(5/3)/(5/3)+ t^(11/3)/(11/3) c+6/7 √(6&t^(7 )+3/11 )@∛(t^(11 +c) ) )

Ejercicio 4

∫▒〖〖tan〗^2 (x)dx=∫▒〖sec〗^2 tanx dx=∫▒〖(〖sec〗^2 x-1) tan⁡〖x dx=∫▒tan⁡〖x sec^(2 ) x dx-∫▒tan⁡〖 x dx=(tan^(2 ))/2〗 〗 〗 〗〗+lm cox

Ejercicio 5

Solución:

∫▒x^2/〖1+〗^(x^6 ) dx es:

∫▒x^2/〖1+〗^(x^6 ) dx=∫▒x^2/〖1+〗^(〖(x〗^(〖3)〗^2 ) ) dx ⟹{ 〖u=x〗^3/〖du=3x〗^2 ⟹ ∫▒(〖 x〗^(2 ) du)/(〖1+( u)〗^2 〖 3 x〗^2 ) ⟹1/3 ∫▒du/〖1+〗^((u)^2 ) =1/3 〖tan〗^(-1) (x^(3))+c

6.〖 [e〗^x-(5/√(1+x^2 ))+2 sin⁡〖(x)]dx〗

=∫▒〖e^x-∫▒5/√(1-x^2 )〗 dx∫▒〖2 sin⁡〖x dx〗 〗

=e^x-5∫▒1/√(1-x^2 ) dx-2∫▒cos⁡〖x dx〗

e^x-5| Ln √(x^2-1 | ) dx-2 cos⁡〖x+c〗

Ejercicio 7

∫▒〖Cos〗^4 (x).sen(x)dx

Aplicar integración por sustitución:

∫▒〖f(g(x)).g^' (x)= ∫▒〖f(u)du, u=g(x)〗〗

u=cos⁡(x)=du= -sen(x)dx, dx=(- 1/(sen x))du

Sustituimos:

∫▒〖u^4 sen(x)(-1/senx)du〗

= ∫▒〖〖-u〗^4 du〗

Sacar la constante ∫▒〖a.f(x)dx=a.∫▒f(x)dx〗

= -∫▒〖u^4 du〗

Aplicar regla de la potencia ∫▒〖x^a dx= x^(a+1)/(a+1)〗=a≠-1

= -u^(4+1)/(4+1) Simplificar=> -(〖cos〗^5 (x))/5

RTA∶ -(〖cos〗^5 (x))/5+C

Ejercicio 8

∫▒〖(〖cos〗^3 (t)+1)/(〖cos〗^2 (t)) dt〗

Regla de la suma

∫▒〖(〖cos〗^3 (t))/(〖cos〗^2 (t)) dt+ ∫▒〖1/(〖cos〗^2 (t)) dt〗〗

∫▒(〖cos〗^3 (t))/(〖cos〗^2 (t)) dt Simplificado=> ∫▒〖cos⁡(t)dt〗

Regla de integración: ∫▒〖cos⁡(t)dt=sen(t)〗

=Sen(t)

∫▒(〖cos〗^3 (t))/(〖cos〗^2 (t)) dt=sen(t)

Regla de integración ∫▒〖1/(〖cos〗^2 (t)) dt=tan⁡(t)〗

∫▒〖1/(〖cos〗^2 (t)) dt〗 =tan⁡(t)

RTA:sen(t)+tan⁡(t)+C

Ejercicio 9

g(x)=x^2 √(1+x^3 )

g(a,b)=1/((b-a)) ∫_a^b▒g(x)dx

k=1+x^3

dk/dx=〖3x〗^2→dx=dk/(3x^2 )

=∫_0^2▒〖x^2 √k .dk/〖3x〗^2 〗

=1/2.1/3 ∫_0^2▒√k dk=1/3 x ∫_0^2▒〖k^(1/2) dx〗

=1/3 x^2 k^(3/2)/(3/2)+c=1/3 x^2 (2k^(3/2))/3+c

=∫_0^2▒〖2/9 k^(3/2)+c〗=2/9(1+x^3 )^(3/2)+c

=∫_0^2▒〖2/9 √((1+x^3 )^3 ) ∫_0^2▒〖2/9 ( √(1+(2)^3 )〗〗-√(1+(0)^3 ) )

2/9 (√(9^3-1))= 2/9 (3^3-1)=26/9

Ejercicio 10

Halle el valor medio de g(x)=2x- 〖2x〗^2 en el intervalo de [0,1]

g(x)= 1/(b-a) ∫_0^1▒〖g(x)dx〗

g(x)= 1/(1-0) ∫_0^1▒〖(2x- 〖2x〗^2)dx〗

1∫_0^1▒(2x-〖2x〗^2 )dx

Calcular integral indefinida

∫▒(2x-〖2x〗^2

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